25

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Е.Р.Ляликова, Л.И.Спинко

Несобственные интегралы

Методические указания для студентов 2-го курса

механико-математического факультета РГУ

отделений «Математика» и «Механика»

г. Ростов-на-Дону

2004

Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № 7 от 9 марта 2004 года.

Методическая разработка по теме «Несобственные интегралы» содержит базовый материал для проведения лабораторных занятий на втором курсе механико-математического факультета РГУ по специальностям «Математика» и «Механика». Она также содержит основные теоретические факты, необходимые для решения рассматриваемых задач.

1 Исследование сходимости несобственных

интегралов по определению и их вычисление

Определение 1.Если -- локально интегрируемая функция наи существует конечный предел, то говорят, что функцияинтегрируема нав несобственном смысле, а величинуобозначают символоми называют сходящимся несобственным интегралом.

Сформулируем основные свойства несобственных интегралов.

1.1 Если тои.

1.2 Если -- локально интегрируемая функция наи, то, при этом.

1.3 Если , то .

1.4 Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Пусть ,-- единственная особая точкана. Для того , чтобысходился необходимо и достаточно, чтобы

.

1.5 Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов

Пусть ,-- единственная особая точканаи нафункцияимеет первообразнуютакую, что существует конечный предел. Тогда и

.

6. Замена переменных в несобственном интеграле

Пусть ,-непрерывная функция на. Пусть, причем

а) -- непрерывно дифференцируемая нафункция;

б) -- строго монотонная функция на;

в) .

Тогда интегралы ,сходятся или расходятся одновременно и, в случае сходимости они равны.

6. Интегрирование по частям в несобственном интеграле

Пусть -- непрерывно дифференцируемые функции наи существует конечный предел. Если один из несобственных интеграловсходится, то сходится и второй, и справедливо равенство

, где .

Перейдем к решению задач, в которых требуется исследовать несобственный интеграл на сходимость и, в случае сходимости вычислить его.

Пример 1. .

Функция (-- частное двух непрерывных нафункций). Следовательно-- единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла имеем:

.

Следовательно, исходный интеграл сходится по определению.

Пример 2..

Функция , в точкене определена, причем. Следовательно, функцияне ограничена в правосторонней окрестности точки, а потому точка-- единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла

.

Следовательно, исходный интеграл сходится по определению.

Пример 3. .

Функция , следовательно,единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла

.

Здесь мы использовали теорему I.7 об интегрировании по частям несобственного интеграла. Так как последний предел не существует, то по определению несобственный интеграл расходится.

Пример 4..

Функция , следовательно,единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла

.

Здесь мы применили теорему I.6 о замене переменной (заметим, что все условия этой теоремы выполнены).

Упражнения

Исследовать на сходимость и в случае сходимости вычислить следующие несобственные интегралы:

1. 2. 3. 4.

5. 6.7. 8.

9. 10.11.12. .

2 Несобственные интегралы от неотрицательных функций

2.1 Первый признак сравнения (непредельная форма признака сравнения)

Пусть ,, и пусть--единственная особая точкаина. Тогда

а) если сходится, тосходится;

б) если расходится, торасходится.

2. Второй признак сравнения (предельная форма признака

сравнения)

Пусть ,,--единственная особая точкаина. Еслиисохраняет знак в окрестности точкии существует предел, то несобственные интегралыисходятся или расходятся одновременно.