Измерение емкости электрического конденсатора

Цель работы: изучение метода наименьших квадратов на примере измерения емкости электрического конденсатора.

Приборы и принадлежности: электронный осциллограф, генератор гармонических колебаний, электрический конденсатор с неизвестной емкостью, резистор.

Электрический конденсатор - устройство, состоящее их двух проводящих электродов (обкладок), разделенных диэлектриком или вакуумом. Способность конденсатора накапливать электрический заряд характеризуется физической величиной, называемой электроемкостью или просто емкостью С. Она связывает между собой заряд конденсатора q и напряжение между его обкладками q:

(43)

Величина емкости определяется диэлектрической проницаемостью материала диэлектрика, формой и геометрическими размерами конденсатора.

Единица измерения емкости в системе СИ - 1 фарад [Ф], имеющий размерность, согласно формуле (43), {Кл/В]. Из-за того, что заряд в 1 Кл очень велик, емкость в 1 Ф также велика. Поэтому на практике используют в основном доли этой единицы: 1 микрофарад (1 мкФ (10^-6 Ф), 1 пикофарад [пФ] 10^-12 Ф) и т.п.

Через конденсатор постоянный ток протекать не может. Однако в цепи, содержащей источник переменной электродвижущей силы, происходят периодические зарядка и разрядка конденсатора, то есть имеет место движение зарядов - электрический ток. Пусть напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону

, (44)

где U_m - амплитуда колебаний напряжения. Подставляя (44) в (43), получим:

(45)

Мгновенное значение силы электрического тока, текущего через конденсатор, равно производной заряда по времени:

(46)

Сопоставляя выражения (41) и (43), можно сделать вывод, что колебания силы тока опережают колебания напряжения на конденсаторе на /2. Это означает, что в то время, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. Выражение (46) может быть представлено в виде:

(47)

(48)

где I_m - амплитуда колебаний тока.

Сравнение (48) с классической формулой закона Ома для участка цепи приводит к выводу, что величина имеет размерность электрического сопротивления. Поэтому ее называют емкостным сопротивлением конденсатора переменному току.

Рис. 12

Если собрать цепь, электрическая схема которой показана на рис. 12, то амплитуда колебаний ЭДС источника и амплитуда переменного тока, протекающего через электрическую цепь, будут связаны соотношением:

(49)

Регистрируемая осциллографом амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе равна:

(50)

Подбирая частоту колебаний и величину сопротивления, можно добиться выполнения условия. Тогда формулу (50) можно представить в виде:

, (51)

где Т=1/f - период колебаний.

Если выполняется неравенство , существует прямо пропорциональная зависимость амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе от периода колебаний. На данном обстоятельстве и основан метод определения емкости конденсатора.

Представляя выражение (51) в виде , где задачу измерения неизвестной емкости С можно свести к определению величины коэффициента пропорциональности b по экспериментально зафиксированной зависимости при условии, что имеется информация о величинахR и . Коэффициент пропорциональностиb определим с помощью метода наименьших квадратов согласно формуле (15), в которую вместо x_i и у_i, следует подставить экспериментально измеренные значения периода и соответствующие им амплитуды колебаний напряжения. Величина емкости конденсатора определяется соотношением:

(52)

Амплитуда колебаний ЭДС источника измеряется путем непосредственного подключения источника к осциллографу, а величина сопротивленияR указана.

Поскольку определение емкости с помощью формулы (52) представляет собой задачу косвенных измерений, то погрешность С следует вычислять по правилу (6), формально рассматривая емкость конденсатора кА функцию величин ,R и b.