Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.
Если система плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы и свободных членов или погрешность округления при расчетах могут сильно
исказить решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Исходную систему уравнений |
A x |
b |
с учетом погрешности в векторе |
|
b |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Запишем как |
A (x x ) |
b b |
или |
|
A x |
b A x |
b |
|
и тогда |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A x b |
отсюда можно выразить ошибку |
x A |
|
b |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
Абсолютная погрешность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|| x || || A |
b || или |
|
|| x || || A |
|
|| || b || |
||||||||||||
определим, как норму ошибки |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определим относительную погрешность |
|
|
|
|| x || || A |
|| || b || |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| x || |
|
|
|| x || |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|| x || |
|
|
|
|
|
|
11 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
из исходной системы A x b получим |
|| A || || x || || b || |
||||||
|
далее определим |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|| A || |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|| x || |
|| b || |
|
|
|
||
и подставим в определение относительной погрешности получим
|
1 |
|
|
|
|| x || |
|
|| b || |
||
|
|| A |
|| || A || |
|
|
|| x || |
|
|
|
|| b || |
Вводим понятие числа обусловленности:
|
|
|
|
1 |
|
Kоб Cond(A) || A || |
|| A || |
||||
|
и тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| x || |
Kоб |
|| b || |
|||
|
|
|
|
|
|
|| x || |
|
|
|
|| b || |
|
12
Метод простых итераций Алгоритм метода состоит из трёх этапов.
Первый этап. Приведение СЛАУ к итерационному виду, для этого разрешим каждое уравнение относительно соответствующего неизвестного:
|
a11x1 a12x2 ....... |
a1n xn b1 |
|
. |
a21x1 |
a22x2 ....... |
a2n xn b2 |
|
.......... ....... ........... .... |
||
|
......... |
||
|
an1x1 |
an2x2 ....... |
ann xn bn |
x |
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
a11 |
|
||
x2 |
|
|
b2 |
|
|
|
a22 |
||||||
....... ........ |
||||||
xn |
|
dn |
|
|||
|
ann |
|||||
|
|
|
|
|||
где di bi
aii
( 0 x |
|
|
a12 x |
2 |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
a11 |
|
|
( a21 x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 x |
|
|
|||||
|
a22 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
........... |
|
|
.......... |
|
|||||
( |
an1 |
x |
|
an2 x |
2 |
||||
|
|||||||||
|
ann |
1 |
|
|
|
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
при i j |
|||
|
cij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij |
|
|
при i j |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
aii |
|
|
|
|
|
||
|
a13 x3 |
..... |
|
a1n xn ) |
|
|
a11 |
|
|
|
a11 |
|
a23 x |
3 |
..... |
|
a2n xn ) |
|
a22 |
|
|
|
a22 |
........... ......... |
|
........... |
|||
|
an3 x |
3 |
..... |
0 xn ), |
|
|
ann |
|
|
|
|
i 1,2,3, , n; j 1,2,3, ,n
Тогда итерационную формулу |
k |
|
k 1 |
13 |
запишем в виде: |
x |
d C x |
; k 1,2,3, |
|
где вектор d – приведенный столбец свободных членов,матрица
C – приведенная матрица коэффициентов.
|
|
Второй этап. Проверяем условие сходимости |
|| C || 1 |
если условие не выполняется, то преобразуем исходную систему и выполняем 1-й этап. Третий этап. Осуществляем уточнение решения по полученной итерационной формуле.
k |
|
k 1 |
k 1,2,3, |
|
0 |
|
|
x |
d |
C x ; |
За начальное приближение принимается x |
d |
|||
Условием окончания итерационного процесса является выполнение условия |
|
||||||
|
|
|
|
k |
k 1 |
|| |
|
|
|
|
|
|| x |
x |
|
|
|
|
где величина ε определяет точность получаемого решения |
|
||||
|
|
|
k |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
а x и |
x |
– смежные приближения к решению. |
|
|
14
Пример. Решить СЛАУ методом простых итераций ε=0.4
4.00 |
1.00 |
1.00 |
x1 |
|
|
6.00 |
|||||
|
2.00 |
5.50 |
1.00 |
|
|
|
|
|
|
8.50 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|||||
2.00 |
1.00 |
|
|
|
|
||||||
|
4.00 |
x |
3 |
|
|
|
7.00 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем исходную систему к итерационному виду.
|
|
k |
|
k 1 |
k 1,2,3, |
||||||
|
|
x |
d |
C x , |
|||||||
|
0.00 |
0.25 |
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
0.78 1 |
|
C |
0.36 |
0.00 |
|
|
|
|
|
||||
|
0.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0.50 |
0.25 |
0.00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.50 |
|
|
|||
|
1.55 |
|
0 |
|
||
|
||||||
d |
|
x |
d |
|||
|
|
|
||||
|
1.75 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
15
(k)
x d
(1) 0.00 x 1.55 0.36
1.75 0.501.50
(2) 0.00 x 1.55 0.36
1.75 0.501.50
(3) |
1.50 |
|
0.00 |
||
|
|
|
|
0.36 |
|
x |
|
1.55 |
|
||
|
|
|
|
0.50 |
|
|
|
1.75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
1.50 |
|
0.00 |
||
|
|
|
|
0.36 |
|
x |
|
1.55 |
|
||
|
|
|
|
0.50 |
|
|
1.75 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ответ:
|
|
|
|
|
(k 1) |
|
|
(k) |
||||
C |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
0.25 |
0.25 |
1.50 |
|
0.68 |
||||||||
0.00 |
0.18 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1.55 |
|
|
|
0.68 |
|
||||||
0.25 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0.00 |
1.75 |
|
|
0.61 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0.25 |
0.25 |
0.68 |
|
1.18 |
||||||||
0.00 |
0.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0.68 |
|
|
1.19 |
|||||||
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.00 |
|
0.61 |
|
1.24 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
0.25 |
1.18 |
|
0.89 |
||||||||
0.00 |
|
|
|
|
|
|
|
0.89 |
|
|||
0.18 |
|
1.19 |
|
|
|
|||||||
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0.00 |
1.24 |
|
|
0.86 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.25 |
0.25 |
|
0.89 |
|
1.06 |
|||||||
0.00 |
|
|
|
0.89 |
|
|
|
1.06 |
|
|||
0.18 |
|
|
|
|
|
|||||||
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0.00 |
|
0.86 |
|
1.08 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.06 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1.06 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.08 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0.86 |
1.65 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1.14 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0.50 |
|
|
|
|
||
|
|
0.51 |
0.95 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.28 |
|
|
|
|
|
|
0.30 |
0.56 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.17 |
|
|
|
|
||
|
0.17 |
0.32 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16