Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

План семестра поурочный по ВычМат-2014 / VM-12-m-Дифференц-Уравнения.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

421 Кб

Скачать

☆

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения, устанавливающего связь между независимой переменной x неизвестной функцией y и ее производными y’,y”,…,y(n), может мыть представлен следующим образом:

F(x, y, y , y ,.....y(n) ) 0

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Решение дифференциального уравнения (интегрированием) является

некоторая функциональная зависимость y=y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения записывается в виде: y=y(x,c1,c2,…,cn), где c1,c2,…,cn произвольные постоянные.

Решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях, называется частным решением уравнения. Постоянные c1,c2,…,cn можно определить, задав n условий.

Если эти условия заданы как совокупность значений искомой функции и всех ее производных до (n-1)ого порядка включительно в некоторой течке x0, то задача решения

уравнения называется задачей Коши, а заданные условия:

y(x0)=y0, y’(x0)=y’0, y”(x0)=y”0,…, yn-1(x0)=yn-10 называются начальными условия.

Если же условия заданы при нескольких значениях x, то задача решения
дифференциального уравнения будет называться граничной или краевой задачей.	1
	1

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

F(x, y, y ) 0

соотношение часто удается записать в виде:

y f (x, y)

Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной. Значение производной равно тангенсу угла наклона

касательной к графику функции в точке (x,y). Функцию f(x,y) будем называть правой частью дифференциального уравнения.

Общим решением уравнения будет являться семейство функций y=y(x,c1) различающихся значение постоянной c1. Задаем одно начальное условие y(x0)=y0, которое определяет значение c1и конкретное частное решение – задача Коши.

Для простейшего дифференциального уравнения y’=3x2. Общее решение имеет вид y=x3+c, а подставив в общее решение начальное условие x0=1, y0=2 вычислим с=1 и определим

частное решение как: y=x3+1

			10
			9
			8
			7
			6
			5
			4
		y0	3
		y0	2
			1
			0		x0
-3	-2	-1	-1	0	x0	2	3
-3	-2	-1	-2	0	1	2	3
			-3
			-4
			-5
			-6
			-7
			-8
			-9

Метод Эйлера

Дано дифференциальное уравнение y’=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 . Требуется найти решение на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок интегрирования на n

равных частей: x0=a, x1= a+h, x2=x1+h,…,xi=xi–1+h,…,xn=b, тогда величина шага

h b a

интегрирования будет равна:

				y
			y2
Значение функции y1		в	y1
точке x1 можно определить			y1
точке x1 можно определить
как точку пересечения								y=y(x)
касательной проведенной к
функции y=y(x) в точке
(x0,y0) с вертикальной					β
прямой проходящей через			y0		β
точку x1.									x
				x0	x1	x2	xi	xn-1	xn
Тангенс угла наклона касательной есть значение производной в точке (x0,y0) и задается
правой частью дифференциального уравнения, т.е. tg( β)=f(x0,y0). С другой стороны из
геометрического представления метода можно записать:
tg( ) y1	y0 y1	y0	Следовательно		y1 y0	f (x0 , y0 )
x1	x0	h			h
Откуда	y1 y0 h f (x0 , y0 )			y2 y1	h f (x1, y1)		и т.д.
Откуда	x1 x0 h			x2 x1	h
	x1 x0 h			x2 x1	h
Решение будет заключаться в последовательном применении формул:

yi yi 1	h f (xi 1, yi 1)	где i = 1, 2, 3, …, n
xi xi 1	h	4

Результат будет представлен функцией заданной таблицей.

Пример

	y	; a 1;	b 3;	n 4;	h 0.5	x0 1;	y0 2;	y	C	C 2

y	x								x

y1 = -2+0.5*(-(-2/1)) = -1 x1 = 1+0.5 =1.5

y2 = -1+0.5*(-(-1/1.5)) = -0.667 x2 = 1.5+0.5 =2

и т.д.

X	Y(Эйлер)	Y(теор)

1	-2	-2

1.5	-1	-1.333

2	-0.667	-1

2.5	-0.5	-0.8

3	-0.4	-0.667

Модифицированный метод Эйлера

Графическая интерпретация.

Определяем точку

x 12

и вычисляем значение

y 12

f (x0 , y0 )

функции в этой точке

Значение функции y1 в точке x1

определяем, как точку пересечения касательной,

вычисленной в точке (x1/2,y1/2) и проведенной к функции y=y(x) в точке (x0,y0) , с

вертикальной прямой проходящей через точку x1.

y1/2

y=y(x)

x1/2

xn-1

h f (x

, y

)

или

h f (x

, y

))

x1 x0

произвольную точку определим

yi yi 1

h f (xi 1/ 2

, yi 1/ 2 ) или

yi 1 h f (xi 1

, yi 1

h f (xi 1, yi 1))

xi xi 1

где i = 1, 2, 3, …, n

Пример

; a 1; b

n 4;

h 0.5

x0 1;

C 2

y1/2 = -2+0.25*(-(-2/1)) = -1.5; x1/2 = 1+0.25 = 1.25

y1 = -2+0.5*(-(-1.5/1.25)) = -1.4; x1 = 1+0.5 = 1.5

y3/2 = -1.4 +0.25*(-(-1.4/1.5)) = -1.1667; x3/2 = 1.5+0.25 = 1.75

y2 = -1.4 +0.5*(-(-1.1667/1.75)) = -1.0667; y2 = 1.5+0.5 = 2

и т.д.

X	Y(мод)	Y(теор)
1	-2	-2
1.5	-1.4	-1.3333
2	-1.0667	-1
2.5	-0.8593	-0.8	7
3	-0.7187	-0.6667	7
3	-0.7187	-0.6667

-0.5

-1	Y(Эйлер)
	Y(Эйлер)
	Y(Мод)
-1.5	Y(теор)
-1.5

-2

-2.5

Begin

euler(x,y,h)

x0,y0,xn,n

h:=(xn-x0)/n x(1):=x0; y(1):=y0 i=0

i=2 step 1 to n+1

y(i)=euler(x(i-1),y(i-1),h) x(i):=x(i-1)+h

function y=euler(x,y,h)

dfdx(x,y)

y=y+h*dfdx(x,y)

End

function y=us_euler(x,y,h)

dfdx(x,y)

y=y+h/2*(dfdx(x,y)+dfdx(x+h,y+h*dfdx(x,y))

End

plot(x,y)

End

function f=dfdx(x,y)

dfdx = 2 * (x ^ 2 + y)

function y=m_euler(x,y,h)

dfdx(x,y)

y=y+h*dfdx(x+h/2,y+h/2*dfdx(x,y))

End

function y=rungekutt(x,y,h)

dfdx(x,y)

k0:=dfdx(x,y)

k1:=dfdx(x+h/2,y+h*k0/2)

k2:=dfdx(x+h/2,y+h*k1/2)

k3:=dfdx(x+h,y+h*k2)

y=y+h/6*(k0+2*k1+2*k2+k3)

End

Аналитический вывод формул

dxdy f (x, y)

Необходимо найти значения функции y(x) в заданных точках x1, x2,… xn, если известны начальные значения (x0, y0 ), где y0=y(x0) . Преобразуем уравнение

dy f (x, y)dx

Проинтегрируем левую и правую части уравнения между xi и xi+1 точкой
yi 1	xi 1		xi 1
dy	f (x, y)dx	yi 1 yi f (x, y)dx
yi	xi		xi
Интегрируем методом прямоугольники вперед
xi 1		f (xi , yi ) (xi 1 xi ) yi f (xi , yi ) h
yi 1 yi f (xi , yi )dx yi		f (xi , yi ) (xi 1 xi ) yi f (xi , yi ) h
xi
Интегрируем методом в среднем				xi 1/ 2 xi h / 2
xi 1		f (xi 1/ 2 , yi 1/ 2 ) h		xi 1/ 2 xi h / 2
yi 1 yi f (xi 1/ 2 , yi 1/ 2 )dx yi		f (xi 1/ 2 , yi 1/ 2 ) h		yi 1/ 2 yi h / 2 f (xi , yi )
xi				yi 1/ 2 yi h / 2 f (xi , yi )
	Интегрируем методом трапеций
yi 1 yi h / 2 (f (xi , yi ) f (xi 1, yi 1))			xi 1 xi	h	10
yi 1 yi h / 2 (f (xi , yi ) f (xi 1, yi 1))			yi 1 yi	h f (xi , yi )	10
			yi 1 yi	h f (xi , yi )

Система дифференциальных уравнений

y1' f (x, y1, y2 , y3,..., yn )

' f (x, y1, y2 , y3,..., yn )

где x — независимая переменная, а

y1(x), y2(x), ..., yn(x) — неизвестные функции, n —

порядок системы.

'(x)

f1(x, y1, y2

, yn

'(x)

(x, y1, y2

Обозначив

, yn или

Y' F (x, Y)

F (x, Y)

'(x)

(x, y , y

, y

Решением системы называется вектор-функцияY(x), которая определена и непрерывно

дифференцируема на интервале (a, b) и удовлетворяет системе, т.е. для всех

xo (a,b)

справедливо

F (x, Y)

yn f (x, y, y', y'',..., yn 1)

дифференциальные уравнения n-ого порядка

Приводим к системе дифференциальных уравнений

y y1

y1' y2

y2 ' y3

............

yn ' f (x, y1, y2 , y3,..., yn )

Соседние файлы в папке План семестра поурочный по ВычМат-2014

#
13.02.20152 Мб674 лекция Матлаб (Создание графических приложений).docx
#
13.02.20152 Мб494 лекция часть 2 Матлаб (Создание графических приложений).docx
#
13.02.2015314 Кб46VM-1-m-Алгоритмы-БлокСхемы.ppt
#
13.02.2015539 Кб52VM-10-m-Одномерн-Оптимизация.ppt
#
13.02.20151 Мб39VM-11-m-Многомерн-Оптимизация.ppt
#
13.02.2015421 Кб34VM-12-m-Дифференц-Уравнения.ppt
#
13.02.2015288 Кб28VM-2-2-m-Погрешности.ppt
#
13.02.2015197 Кб26VM-2-m.ppt
#
13.02.2015426 Кб26VM-3-m-Вект-Матрицы.ppt
#
13.02.2015354 Кб25VM-4-m-СЛАУ-Обусл.ppt
#
13.02.2015400 Кб24VM-5-m-Статобработка.ppt