Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

План семестра поурочный по ВычМат-2014 / VM-6-m-Интерполяция-Аппроксимация.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

444 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Приближение функции.

Для заданных значениях независимой переменной xi и соответствующих им значениях зависимой переменной yi (i=0,1,2,…,n) определить аналитическую зависимость. y=f(x)

Основные этапы при приближение функции.

•Выбор вида зависимости

•Выбор критерия

•Выбор узловых точек

•Оценка точности

Интерполяция.

Определение аналитической зависимости функции, между x и y в виде некоторой функции f(x), которая в узловых точках принимает заданные значения.

f(xi)=yi, где i=0,1,2,…,n .

Интерполяция используется для замены реальной сложной функции более простой на небольшом интервале области определения функции, а также для вычислений промежуточных значений функции заданной таблично.

Метод с использование многочлена Лагранжа.

Пусть в n+1 узловой точке x0, x1, x2, …, xn определены значения y0, y1, y2, …, yn. Требуется построить многочлен L(x) степени не выше n, который принимает в узловых

точках заданные значения, т.е. L(x0)=y0, L(x1)=y1, L(x2)=y2, …, L(xn)=yn.

Рассмотрим многочлен вида
i (x) сi (x x0 )(x x1)...(x xi 1)(x xi 1)...(x xn 1)(x xn )	(1)

где i = 0,1,2,3,…….,n, который только в точке xi принимает значение yi , а в остальных
равен нулю.				yi при i j
				yi при i j		j 0,1,2, , n
			i (x j )		j	j 0,1,2, , n
				0 при i	j
			из этого условия можно определить ci:
i (xi ) ci (xi x0 )(xi x1)...(xi xi 1)(xi							xi 1)...(xi xn 1)(xi xn ) yi
сi					yi
сi	(xi		x0 )(xi x1)...(xi xi 1)(xi			xi 1)...(xi xn 1)(xi xn )
	(xi		x0 )(xi x1)...(xi xi 1)(xi			xi 1)...(xi xn 1)(xi xn )
			и тогда многочлен (1) примет вид:
i (x) yi			(x x0 )(x	x1)...(x	xi 1)(x		xi 1)...(x xn 1)(x xn )	(2)
i (x) yi		(xi x0 )(xi		x1)...(xi	xi 1)(xi		xi 1)...(xi xn 1)(xi xn )	(2)

Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2).

		n
		L(x) i (x)
	(x x0 )(x	i 0		xi 1)...(x xn 1)(x xn )
n	(x x0 )(x	x1)...(x	xi 1)(x	xi 1)...(x xn 1)(x xn )
L(x) yi						2
L(x) yi	(xi x0 )(xi	x1)...(xi	xi 1)(xi	xi 1)...(xi	xn 1)(xi xn )	2
i 0	(xi x0 )(xi	x1)...(xi	xi 1)(xi	xi 1)...(xi	xn 1)(xi xn )


						Пример. По заданным точкам

						i		0						1		2

						xi		-1.000				0.000				1.000

						yi		1.0000				0.0000				1.0000

	Определить интерполяционный многочлен L(x).
0 (x) y0					(x	x1)(x x2 )					1				(x	0)(x 1)		1		x		2		1		x
0 (x) y0			(x0			x1)(x0 x2 )					1			( 1		0)( 1 1)		2		x				2		x
			(x0			x1)(x0 x2 )								( 1		0)( 1 1)		2						2
				(x		x0 )(x			x2 )				(x 1)(x 1)
1(x) y1										0			(0 1)(0 1) 0
1(x) y1		(x1 x0 )(x1							x2 )	0			(0 1)(0 1) 0
2	(x) y2				(x		x0 )(x x1)					1			(x 1)(x 0)		1		x		2		1		x
2	(x) y2				(x2		x0 )(x2 x1)					1			(1	1)(1 0)	2		x				2		x
					(x2		x0 )(x2 x1)								(1	1)(1 0)	2						2

L(x)=x2

	function
	yr=lagrange(x,y,xz)
Begin
	nz=length(xz)
lagrange(x,y,xz)	n=length(x)
	n=length(x)
x,y,xz	i=1 шаг 1 до nz
	i=1 шаг 1 до nz
yz=lagrange(x,y,xz)	yr(i)=0	End
yz	k=1 шаг 1 до n
End	pr=1	yr(i)=yr(i)+pr*y(k)
End
	j=1 шаг 1 до n
	j~=k
		pr=pr*(xz(i)-x(j))/(x(k)-x(j))
		4

Аппроксимация.

Метод наименьших квадратов

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений независимой переменной x и зависимой переменной y:

i	xi	yi
0	x0	y0
1	x1	y1
2	x2	y2

n	xn	yn

Требуется отыскать аналитическую зависимость f(x,a0,a1,…,am), являющуюся функцией одной независимой переменной x и параметров a0,a1,a2,…,am, которая наилучшим образом

описывала бы эти экспериментальные данные в смысле минимума квадратичного критерия рассогласования R(a0,a1,…,am):

n	yi f (xi ,a0	,a1, ,am ) 2
R	yi f (xi ,a0	,a1, ,am ) 2
i 0

Функцию f(x,a0,a1,…,am) определим как полином степени m вида:

_ m j 2 m

f (x,a ) a j x a0 a1x a2x amx

j 0

Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий рассогласования имел бы минимальное значение

n	yi (a0	a1xi a2 xi2 a m xim ) 2 min
R	yi (a0	a1xi a2 xi2 a m xim ) 2 min
i 0

Вывод формулы для определения параметров в матричном виде рассмотрим на примере полинома второй степени (m=2).

f (x,a) a0 a1x a2x2

Тогда критерий R будет являться функцией трёх переменных a0,a1,a2 :

n	yi (a0	a1xi a 2 xi2 ) 2
R R(a0,a1,a2 )	yi (a0	a1xi a 2 xi2 ) 2
i 0

Необходимые условия минимума критерия R имеют вид:

a1xi a 2 xi2 ) ( 1) 0

(a0

i 0

(a0

a1xi a 2 xi2 ) ( xi ) 0

i 0

2 yi

(a0

a1xi a 2 xi2 ) ( xi2 ) 0

a 2

i 0

или

i 0

a 2

yi xi

i 0

yi xi

i 0

Полученную линейную относительно искомых параметров a0,a1,a2, систему уравнений

запишем в матричном виде:

_ _

i 0

где

a a1

N a b

yixi

i 0

yixi

i 0

Для удобства формирования матрицы коэффициентов N и столбца свободных членов

		1		x	0

введем матрицу Ф элементы которой определяются			1	x1
	Ф
через значения независимой переменной xi, i=0,1,2,…,n
				xn
		1

_ T

Ф Ф

b Ф

y x

1 x

x02 x12

x2n

x12

тогда

1	y0
1	y
xn		1
xn
x2
n
	yn
	8

При аппроксимации полиномами высших порядков матрица Ф будет иметь вид:

1 x0

x02

x0m

элемент

i 0,1,2,..., n,

ij xi ,

1 xn

f (x0, a )

В общем случае

количество строк в матрицы

Ф равно

f (x1,

a )

f (x1, a )

количеству точек, а количество столбцов

равно количеству параметров, где строка

состоит из значений частных

производных от функции f(x,a0,a1,…,am) по

соответствующему параметру.

f (xn, a )

j0,1,2,..., m

f (x0, a )


	f (x	a )
1,
	am
	am

f (xn,
f (xn,		a )

	am
	am

	_
Пример. Определить параметры зависимости вида	f (x,a) a0 a1x

используя метод наименьших квадратов, по следующим экспериментальным данным:

i	0	1	2	3

xi	-1	0	1	2	9

yi	2	1	2	4
yi	2	1	2	4

			1		1

		Ф 1				0					T		1		1 1 1
			1			1					Ф			1	0 1		2
						2								1	0 1		2
			1			2
				1			1											2
				1			1								1		1 1 1		1	9
	1 1 1 1				1		0		4 2						1		1 1 1		1	9
	1 1 1 1				1		0		4 2					b
N														b		1 0 1 2			2		8
N	1 0 1						1									1 0 1 2			2		8
	1 0 1		2	1			1		2 6										4
							2												4
				1			2
4a0		2a1		9						1.9		f (x) 1.9 0.7 x						R 2.3
								a				f (x) 1.9 0.7 x						R 2.3
2a0		6a1		8
2a0		6a1		8						0.7

				1	1

				1	0
			Ф 1		1

				1	4
					1
	1	1	1	1
	1	1	1	1	1
N
		0	1		1
	1	0	1	4	1

					1

4a	0	6a1	9
		18a1	20
6a0

y a0 a1 x2

1
0	4		6

1		6
1		6	18

4

_	1.67
a

		0.72

T	1	1	1	1
Ф
		0	1
	1	0	1	4

			2
_	1 1 1 1				9
b	1 1 1 1			1	9
b				2

	1 0 1	4			20

				4

y 1.67 0.72 x2

R 0.06