2.2. Нестационарный режим движения жидкости

Рассмотрим задачу моделирования на примере простой гидравлической системы, рассмотренной выше (рис. 2.1).

При построении динамических моделей конечные балансовые уравнения 6 и 7 в системе уравнений математического описания (9) превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения вида:

; (15)

, (16)

где – объемы жидкости в верхней и нижней емкостях гидравлической системы, представленной на рис. 2.1.

Если эти емкости являются цилиндрическими, то объем жидкости в них определяется по формуле

V^R = S  H (17)

(S – площадь поперечного сечения цилиндра), и вышеприведенные обыкновенные дифференциальные уравнения (15) и (16) принимают следующий вид (в нумерации системы (9) – это будут уравнения 6 и 7):

6 ; (18)

7 . (19)

Для решения системы дифференциальных уравнений на компьютере, т. е. получения соответствующего частного решения, необходимо задать начальные условия вида в принятой выше нумерации системы (9) – это будут уравнения и):

; (18')

. (19')

При этом решается задача Коши, или задача с начальными условиями, и получаемые частные решения представляют собой функции H₁(t) и H₂(t), рассматриваемые в замкнутом интервале [t⁽⁰⁾, t^(k)], которые являются приближениями истинных функций решения .

Более общее представление систем двух дифференциальных уравнений (18) и (19) имеет вид:

; (20)

, (21)

где и– правые части дифференциальных уравнений первого порядка, записанные в явном виде.

В итоге, математическое описание динамики простой гидравлической системы (см. рис. 2.1) представляет собой ту же самую систему уравнений (9), в которой балансовые уравнения 6 и 7 заменены на дифференциальные уравнения (18) и (19); в систему также включены два начальных условия (18') и (19') для получения частного решения на компьютере (общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, получают аналитическими методами). Таким образом, необходимо решить систему уравнений (9), из которых два являются дифференциальными – (18) и (19) – с начальными условиями (18') и (19').

Для решения дифференциальных уравнений (18) и (19) целесообразно представить их в конечно-разностной форме в следующем виде в нумерации системы (9) – это будут уравнения и:

; (18*)

. (19*)

Если интервал интегрирования равен [t⁽⁰⁾, t^(k)], то правые части дифференциальных уравнений и, а также, соответственно, (18*) и (19*), вычисляются приt⁽⁰⁾, t⁽¹⁾, …, t^{(k – 1)}. В результате конечно-разностных преобразований исистема уравнений (9) математического описания нестационарного режима гидравлической системы (рис. 2.1), представленная в конечно-разностной форме имеет вид:

1 = k₁ (P₁ – P₅)^1/2 ;

2 = k₂ (P₂ – P₆)^1/2 ;

3 = k₃ (P₅ – P₃)^1/2 ;

4 = k₄ (P₆ – P₄)^1/2 ;

5 = k₅ (P₅ – P₆)^1/2 ;

;

; (22)

;

;

8 P₅ = P₇ + gH₁ ;

9 ;

10 P₆ = P₈ + gH₂ ;

11 .

Так как при решении системы двух дифференциальных уравнений –(18) и (19) – необходимо определить функции H₁(t) и H₂(t) [t⁽⁰⁾, t^(k)], т. е. и ипри заданных начальных условиях и(18') и (19'), то конечным результатом расчетов должны быть указанные функции, представленные в дискретном виде, при t = t⁽⁰⁾, t⁽¹⁾, …, t^{(k – 1)}, t^(k). Последними значениями искомых функций являются определяемые на 12 и 13 шаге вычислений и.