3.4. Противоточный теплообменник типа труба в трубе (решение краевой задачи)

Рис. 3.18. Схематическое изображение противоточного теплообменника типа труба в трубе

Представленная схема противоточного теплообменника включает в себя два потока теплоносителей – например, охлаждаемый поток c начальной температурой (на входе в аппарат) , конечной температурой (на выходе), расходом, теплоёмкостьюи нагреваемый поток c начальной температурой (на выходе из аппарата), конечной температурой (на входе), расходом, теплоёмкостью. Поверхность теплообмена имеет площадь. Коэффициент теплопередачи обозначен.

Основные допущения для построения этой модели нужно принять такими же, как в случае прямоточного теплообменника «труба в трубе».

Математическое описание процесса

Уравнение теплового баланса для принятой гидродинамической модели идеального вытеснения и выражение для локальной скорости теплопередачи для первого потока теплоносителя записываются относительно координаты следующим образом:

1 ; (50)

2 ; (51)

Уравнение теплового баланса и выражение локальной скорости теплопередачи для второго потока теплоносителя записываются относительно координаты следующим образом:

3 ; (52)

4 . (53)

При этом , откуда следует, что.

С учётом того, что , система уравнений математического описания теплообменника типа труба в трубе записывается как система обыкновенных дифференциальных уравнений в конечно-разностном представлении с краевыми условиями, заданными при разных значениях пространственной координатыи(система приведена к единой системе координат):

1 или

;

2 или (54)

;

3 ;

1′ ;

2′ .

Дополнительные условия и, заданные при разных значениях пространственной координатыназываются «краевыми условиями».Задача получения частного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в таких условиях называется краевой задачей

Алгоритм решения системы уравнений математического описания (54) в рассматриваемом случае таков:

1-й шаг – задаются все дополнительные условия при одном значении независимой переменной, например, , в том числе и отсутствующие в исходной постановке задачи. Последние задаются как начальное приближение.

2-й шаг – решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений и, где. Однако полученное решение будет неверным, так как одно из дополнительных условий –– было задано как приближение.

3-й шаг – проверяется выполнение краевого условия , т. е. превращение его в равенство

.

Если это равенство не выполняется, реализуется шаг 4.

4-й шаг – краевое условие рассматривается как корректирующее уравнение для выбора нового приближения, т. е. по существу реализуется процедура решения уравнения:

. (55)

где – функция уравнения, решаемого относительно.

Затем определяется решение во внешнем цикле решения задачи:

. (56)

5-й шаг – как только будет получено решение последнего уравнения системы (54) во внешнем цикле, задача будет решена, и результаты решения уравнений 1 и 2 системы (54) во внутреннем цикле будут корректными.

Рис. 3.19. Задание краевых условий и изменение температуры теплоносителей по длине теплообменника