§8. Статистические оценки параметров Точечные статистические оценки параметров распределения

Пусть собранный и обработанный статистический материал представлен в виде статистического ряда.

Определение 1. Точечной статистической оценкой параметра а распределения случайной величины называется приближенное значение а* этого параметра, вычисленного по статистическим данным.

Замечание 1. Любая точечная статистическая оценка некоторого параметра, вычисляемая на основе статистического ряда, должна удовлетворять трём требованиям:

• при увеличении числа испытаний она должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру (свойство состоятельности);

• математическое ожидание статистической оценки (как случайной величины при изменении числа испытаний) равно оцениваемому параметру (свойство несмещенности);

• при заданном объёме выборки статистическая оценка имеет наименьшую дисперсию (свойство эффективности).

Определение 2. Статистической оценкой математического ожидания называется среднее арифметическое статистических значений изучаемой случайной величины:

= ,

где m₁+m₂+…+m_k = n.

Замечание 2. Эта оценка математического ожидания обладает всеми свойствами оценок: состоятельности, несмещенности, эффективности.

Определение 3. Смещенной оценкой дисперсии D(x) называется выборочная дисперсия:

D_в=

Замечание 3. Эта оценка является смещенной, так как

M(D_в )=D(x).

Определение 4. Несмещенной оценкой дисперсии D(x) называется исправленная выборочная дисперсия:

s²=D_в=·

Замечание 4. При расчёте s² можно воспользоваться более удобной формулой:

s²=

Замечание 5. Выборочная дисперсия D_в и исправленная выборочная дисперсия s² обладают свойством состоятельности. Оценка s² не обладает свойством эффективности, но обладает свойством несмещенности, поэтому ее чаще чем D_в используют в качестве приближенного значения дисперсии D(x).

Определение 5. Оценкой среднего квадратического отклонения σ(х) называется квадратный корень из D_в или s²:

σ_в= _в или s = ²

Определение 6. Оценкой вероятности события А в n независимых испытаниях является относительная частота события А:

P*= ,

где m – число появления события А в n испытаниях.

Замечание 6. Эта оценка вероятности события А в n независимых испытаниях обладает свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Замечание 7. Если выборка состоит из вариант x_i громоздкого вида, то для упрощения расчета выборочных точечных оценок параметров следует перейти к условным вариантам:

u_i =,

где h – шаг между равноотстоящими вариантами; c – так называемый «ложный» нуль. Для них произвести расчет точечных оценок параметров:

= , D_в (u) = , s_u²= · D_в (u).

Затем вычислить искомые точечные оценки:

= ∙ h + c, D_в (x) = h² ∙ D_в (u), s_x² = h² ∙ s_u² .

В качестве числа c обычно выбирают варианту x_i0 , которая расположена в середине статистического ряда или имеет наибольшую частоту.

Интервальные оценки параметров нормального распределения

Для выборок небольшого объема вопрос точности оценок решается с помощью интервальных оценок.

При этом по вычисленной точечной оценке a* параметра a при заданной вероятности γ, называемой доверительной вероятностью, а также по некоторому числу εзависящему от γ иa* , строят интервал для истинного параметра a :

a*  𝜀 < a < a* + 𝜀 ,

чтобы выполнялось равенство:

P (a*  𝜀 < a < a* + 𝜀) = γ .

Число 𝜀 называется точностью оценки a*, границы интервала a*  𝜀 и a* + 𝜀 называются доверительными границами, интервал (a* 𝜀 и a* + 𝜀 ) – доверительным интервалом, вероятность γ доверительной вероятностью или надежностью интервальной оценки.

Определение 7. Интервальной оценкой математического ожидания m нормального распределения при известной дисперсии σ² называется интервал

(  𝜀 ; +𝜀) , ε = z_γ · ,

удовлетворяющий равенству:

Р (  𝜀 < m < +𝜀) = 𝛾 ,

где γ– заданная доверительная вероятность; m – истинное математическое ожидание; – точечная оценка математического ожидания; n – объем выборки; число z_γ находится из уравнения Ф (z_γ) = с помощью табл. П 2.2 функции Лапласа Ф (x), см. приложение 2.

Следовательно, интервальная оценка математического ожидания находится по формуле:

z_γ· < m <+ z_γ· .

Определение 8. Интервальной оценкой математического ожидания m нормального распределения при неизвестной дисперсии называется интервал

(  𝜀 ; +𝜀) , ε = t_γ · ,

удовлетворяющий равенству:

Р (  𝜀 < m < +𝜀) = 𝛾 ,

где γ– заданная доверительная вероятность; m – истинное математическое ожидание; – точечная оценка математического ожидания; s² – точечная оценка дисперсии; n – объем выборки; число t_γ вычисляется из уравнения

,

с помощью табл. П 2.3 распределения Стьюдента (см. приложение 2).

Следовательно, интервальная оценка математического ожидания с доверительной вероятностью γ вычисляется по формуле:

_γ· < m <+ t_γ· .

Определение 9. Интервальной оценкой среднего квадратического отклонения σ нормального распределения называется интервал

( 𝜀 ; +𝜀) , ε = q_γ ·,

удовлетворяющий равенству:

Р (  𝜀 < 𝜎 < +𝜀) = 𝛾 ,

где γ– заданная доверительная вероятность; s² – исправленная выборочная дисперсия; n – объем выборки; число q_γ определяется из табл. П 2.4 (см. приложение 2).

Следовательно, интервальная оценка среднего квадратического отклонения находится по формулам:

s (1 – q_γ) < 𝜎 < s (1 + q_γ) , если q_γ < 1 ,

0 < 𝜎 < s (1 + q_γ) , если q_γ > 1.