Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Понятия математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X), введенные ранее для дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

• Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

при условии, что этот интеграл сходится.

• Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

• Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:

.

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Задача 5.3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

Найти M(X), D(X), σ(Х), а также P(1 < х < 5).

Решение:

M(X)==

+=8/90+9/64/6=31/18,

D(X)=

==/

P1=

Задачи

5.1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(‒1/2 < Х < 1/2).

5.2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(2π /9 < Х < π /2).

5.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

5.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

5.5. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X), D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

5.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X), D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку [1; 2,5].

5.7. Функция f(х) задана в виде:

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

5.8.Функция f(x) задана в виде:

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

5.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

5.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (1;4), задана функцией распределения F(х)=. Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) меньше 4.

5.11. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х > М(Х)).

5.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х ≤ М(Х)).

5.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

5.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти число с.

5.15. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [2;2] (рис. 5.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Рис. 5.4 Рис. 5.5

5.16. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0;4) (рис. 5.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Ответы

5.1.

P (1/2<X<1/2)=2/3.

5.2.

P (2π /9<Х< π /2)=1/2.

5.3. а) с =1/6, б) М(Х)=3 , в)D(X)=26/81.

5.4. а) с=3/2, б) М(Х)=3/5, в) D(X)=12/175.

5.5.

б) M(X)=3 ,D(X)=2/9, σ (Х)=/3.

в) 3/8.

5.6.

б) M(X)=2,D(X)=3, σ (Х)=1,893.

в) 9/64.

5.7. а) с =; б)

5.8. а) с =1/2; б)

5.9. а)1/4; б) 0.

5.10. а)3/5; б) 1.

5.11. а) с = 2; б) М(Х)= 2; в) 1ln² 2 ≈ 0,5185.

5.12. а) М(Х)= π /2 ; б) 1/2

5.14. с = 1.

5.15.

5.16.