63

Оглавление

Глава 1. Вероятность случайного события 5

§ 1. Элементы комбинаторики 5

Основные понятия комбинаторики 5

Задачи с решениями 7

Задачи 9

Ответы 11

§2. Случайные события и их классификация. Алгебра событий. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения вероятностей 11

Случайные события 11

Вероятность события 12

Теоремы сложения и умножения вероятностей 13

Задачи с решениями 14

Задачи 19

Ответы 22

§3. Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли 23

Формула полной вероятности 23

Повторные испытания. Формула Бернулли 24

Формулы Лапласа 24

Формула Пуассона 25

Задачи с решениями 25

Задачи 30

Ответы 33

Глава 2. Случайные величины 33

§4. Дискретная случайная величина 33

Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины 33

Фунция распределения 35

Некоторые законы распределения дискретной случайной величины 39

Задачи 41

Ответы 44

§5. Непрерывная случайная величина 46

Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения непрерывной случайной величины 46

Функция плотности распределения вероятностей 47

Числовые характеристики непрерывной случайной величины 50

Задачи 51

Ответы 54

§6. Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины 55

Равномерный закон распределения 55

Показательный (экспоненциальный) закон распределения 57

Нормальный закон распределения 58

Задачи 60

Ответы 63

Глава 3. Элементы математической статистики 64

§7. Статистическое распределение выборки 64

Задачи математической статистики 64

Генеральная и выборочная совокупности 64

Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма 65

Задачи с решениями 66

Задачи 70

Ответы 72

§8. Статистические оценки параметров 78

Точечные статистические оценки параметров распределения 78

Интервальные оценки параметров нормального распределения 80

Задачи с решениями 82

Задачи 87

Ответы 90

§9. Проверка статистических гипотез 90

Статистические гипотезы 90

Проверка гипотез 91

Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей 92

Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей 93

Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей 94

Задачи с решениями 95

Задачи 100

Ответы 101

§10. Критерий согласия Пирсона 102

Проверка гипотезы о нормальном распределении 102

Задачи с решениями 104

Задачи 109

Ответы 111

§11. Элементы теории корреляции 111

Коэффициент корреляции 112

Линейная корреляция. Уравнение регрессии 115

Ранговая корреляция 117

Задачи 125

Ответы 128

Приложение 1 128

Контрольные работы и контрольные вопросы по теории 128

1.Элементы теории вероятностей 128

2.Элементы математической статистики 134

3. Контрольные вопросы по теории 142

Приложение 2 144

Вероятностные таблицы 144

Глава 1. Вероятность случайного события

§ 1. Элементы комбинаторики

Основные понятия комбинаторики

Комбинаторикой (комбинаторным анализом) называют раздел математики, в котором изучаются задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного (обычно конечного) множества в соответствии с заданными правилами.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых правилами суммы и произведения.

Правило суммы. Если объект А может быть выбран из некоторой совокупности объектов m способами, а другой объект В – n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения. Если объект А может быть выбран из некоторой совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран n способами, то пара объектов А и В в указанном порядке может быть выбрана m · n способами.

Эти правила распространяются на случай трёх и большего числа объектов.

Кроме этих правил известны формулы, помогающие решать некоторые типовые задачи, встречающиеся довольно часто. Комбинациям, фигурирующим в этих задачах, присвоены особые названия – размещения, перестановки и сочетания.

Определение 1. Размещениями из n элементов по m (m ≤ n) элементов в каждом называются комбинации, содержащие по m различных элементов, выбранных из данных n элементов, которые отличаются либо составом, либо порядком входящих в них элементов.

Число всех возможных размещений из n элементов по m обозначается символом и вычисляется по формуле:

= n ∙ ( n – 1) ∙ … ∙ ( n – m + 1)= .

Определение 2. Перестановками из n различных элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же n элементов и отличающиеся только порядком расположения элементов.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:

= n ∙ ( n  1) ∙ … ∙2 ∙1= n !

Нетрудно заметить, что перестановки из n элементов являются частным случаем размещений из n элементов по m, когда m = n, т.е. число элементов в комбинации совпадает с числом имеющихся элементов. Таким образом, справедлива формула:

=.

Определение 3. Сочетаниями из n элементов по m (m ≤ n) в каждом называются комбинации, содержащие по m различных элементов, выбранных из данных n элементов, которые отличаются составом входящих в них элементов. При этом порядок расположения элементов не играет роли.

Число всех возможных сочетаний из n элементов по m обозначается символом и вычисляется по формуле:

= =,т. е. = .

Свойства сочетаний:

= 1,

= ,

= +,

+ ++ … +=.

Определение 4. Размещениями с повторениями из n элементов по m элементов в каждом называются комбинации, содержащие по m возможно повторяющихся элементов, выбранных из данных n элементов, которые отличаются либо составом, либо порядком входящих в них элементов.

Число всех возможных размещений с повторениями из n элементов по m обозначается символом и вычисляется по формуле:

= .