Основные параметры теории рассеяния

Рассеянием в силовом поле, обладающем центральной симметрией, называется отклонение частиц от направления первоначального движения в результате взаимодействия с рассеивающим центром. Таким центром может быть, например, атом или ион.

Число частиц, рассеянных в единицу времени под углом  относительно направления их первоначального движения внцтрь телесного угла d равно

dN = ()nd = nd(), (1)

где n – число частиц первоначального пучка, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения их потока (интенсивность пучка).

Величина (), имеющая размерность площади, называется дифференциальным эффективным сечением (), иногда обозначается, как.

Величина

(2)

Называется полным эффективным сечением (или просто полным сечением) рассеяния.

Рассеяние частиц в опыте Резерфорда

Пусть под углом  к оси падающего на мишень пучка -частиц в элементе телесного угла d расположен детектор (см. рис. 5). Мишень имеет толщину L и концентрацию рассеивающих атомов n₀.

Мишень должна быть "тонкой". Это означает, что средняя длина свободного пробега  -частицы в мишени при рассеянии на ядрах, в отличие от рассеяния на электронах, должна удовлетворять требованию:  >> L.

При этом условии возможны лишь однократные столкновения -частицы с ядрами мишени (если они значительно меньше размеров атома).

Важнейшим элементом в теории рассеяния является выбор потенциала рассеяния U(r). Эта величина является характеристикой свойств вещества мишени и не зависит от условий эксперимента. Резерфорд выбрал кулоновский потенциал,

положив , а в качестве рассеивающего центра - ядро атома золота, масса которого много большемассы -частицы. Поэтому отдачей ядра можно было пренебречь.

На рис. 6 изображены две близкие траектории -частицы

Рис. 6

в поле ядра с зарядом +Ze, находящегося в начале координат. Траектории отличаются значениями прицельного параметра b – кратчайшего расстояния от траектории до ядра при отсутствии взаимодействия (слева на рисунке).  - угол рассеяния. Задача имеет цилиндрическую симметрию с азимутальным углом .

Расчет траектории движения -частицы с энергией E в кулоновском поле показывает, что ее траектория - гипербола, при этом прицельный параметр b связан с углом рассеяния  формулой:

(3)

где Ze - заряд частицы-мишени; 2e- заряд -частицы.

Минимальное расстояние, на которое -частица может сблизиться с ядром с учётом кулоновского отталкивания равно

, (4)

Нетрудно видеть, что частицы, попавшие в площадку dS (рис. 6), обязательно пройдут через элемент площади bddb кольца, расположенного на расстоянии b от оси, на которой находится рассеивающий центр. По сути этот элемент и является эффективным дифференциальным сечением рассеяния.

Поэтому

(5)

Если проинтегрировать (5) по  от 0 до 2, то d будет представлять собой площадь пояса, изображенного слева на рис. 6. Поскольку b микроскопический, неизмеряемый параметр, воспользуемся формулой (3) и выразим d через измеряемую величину - угол рассеяния . В результате будем иметь:

(6)

где d = dS/R² = sindd (элемент телесного угла в сферических координатах), а R - расстояние от оси рассеяния до площадки dS (см. рис. 6). Соотношение (6) это известная формула Резерфорда. Формула Резерфорда определяет зависимость дифференциального сечения от угла рассеяния.

Из формулы (6) следует, что при фиксированных начальных условиях эксперимента, т.е. при неизменных величинах Z и E в ходе измерения угловой зависимости I() или N() должно выполняться условие

или

где N – число частиц, прошедших за фиксированное время t через мишень и зарегистрированных детектором под углом . Последняя формула является экспериментальным основанием для проверки модели Резерфорда.