Метод Жордана-Гаусса (обращения матриц).

Пусть имеется система линейных алгебраических уравнений:

A^.X = B

Если эту систему уравнений умножить слева на обратную матрицу:

A^-1A ^. X = A^-1 B то, учитывая, что A^-1 А = Е (единичная матрица), получим:

X = A^-1 B (3.8)

Таким образом, для того чтобы решить систему уравнений, необходимо одним из методов вычислить обратную матрицу и умножить ее на вектор правых частей системы.

Этот метод удобен в тех случаях, когда система уравнений решается при различных правых частях. Тогда необходимо один раз вычислить обратную матрицу, а затем, меняя правые части, вычислять произведение этой матрицы на столбец.

Итерационные методы.

Запишем систему (3.5) в виде:

x₁ = (b₁ - x₂a₁₂ - x₃a₁₃)/a₁₁

x₂ = (b₂ - x₁a₂₁ - x₃a₂₃)/a₂₂ (3.9)

x₃ = (b₃ - x₁a₃₁ - x₂a₃₂ )/a₃₃

или в матричном виде: X = + X, где

x₁ b₁ 0 a₁₂ a₁₃

X = x₂ ;  = b₂ ; = - a₂₁ 0 a₂₃ ; (3.10)

x₃ b₃ a₃₁ a₃₂ 0

Если для системы (3.9) будет выполнено хотя бы одно из условий: ║║₁ = max или ║║₂ = max или

║║₃ = ( |α ² _ij |) ^½ < 1 (3.11)

то итерационный процесс, задаваемый формулой:

x^(k+1) = +  x ^(k) (3.12)

сходится к единственному решению, независимо от начального приближения.

Таким образом, для того чтобы решить систему линейных уравнений (3.9), необходимо задаться некоторым начальным приближением х⁰, равным, например, вектору правых частей системы и вычислить значения х⁽¹⁾ по формуле (3.12). Если при этом │x⁽⁰⁾ - x ⁽¹⁾ │ ≤ ε (ε - точность вычислений), то значение х⁽¹⁾ можно принять за решение. В противном случае х⁽¹⁾ используется в правой части уравнения (3.12), и вычисляется значение х⁽²⁾ и т.д.

Если систему уравнений (3.5) представить в виде:

X = + ₁X + ₂X где

x₁ b₁ 0 0 0

X = x₂ ;  = b₂ ;₁ = - a₂₁ 0 0 ;

x₃ b₃ a₃₁ a₃₂ 0

0 a₁₂ a₁₃

₂ = - 0 0 a₂₃ ;

0 0 0

то для решения можно воспользоваться формулой

x^(k+1) = + ₁ x ^(k+1) + ₂ x ^(k) (3.13)

Формула 3.12 реализует метод простой итерации, а формула (3.13) - метод Гаусса-Зейделя.

Лабораторная работа № 4

4.1 Обработка экспериментальных данных по парожидкостному равновесию.

Задание. 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа седьмой степени для описания зависимости давления пара чистых компонентов от температуры. Варианты систем приведены в таблице № 3.

При построении использовать следующие экспериментальные точки: для четных вариантов Р = 1, 10, 40, 100, 400, 760 мм.рт.ст., 2 атм, 5 атм для нечетных вариантов Р = 10, 40, 100, 400, 760 мм.рт.ст., 2 атм, 5 атм, 10 атм.

Составить программу для вычисления значений давления пара в зависимости от температуры, вычислить их и изобразить в виде графиков для каждого компонента.

Задание 2. Составить программу и вычислить коэффициенты зависимости давления пара чистых компонентов от температуры. По одному из следующих уравнений в зависимости от номера варианта (номер варианта делится на 6, остаток от деления показывает номер уравнения, если остаток равен нулю, то номер уравнения 6):

1. p = A + B *T + C*T² +D*T³ +E*T⁴ - полином 4-й степени;

2. p = exp(A+B/T+C*T+D*lnT) - модифицированное Антуана;

3. p = exp(A-B/(C+T)) - уравнение Антуана;

4. p = exp(A+B/T+C*lnT) - уравнение Ренкина;

5. p = exp(A+B/T+C*lnT+D*T⁶) - уравнение Риделя;

6. p = exp(A+B/T+C*T+D*T³) - уравнение Риделя-Планка-Миллера;

где p - давление пара, T - температура, по методу наименьших квадратов. Варианты систем компонентов и экспериментальные данные по каждому компоненту приведены в таблицах №3 и №4.

При решении системы линейных уравнений можно воспользоваться программой составленной при выполнении 3-й лабораторной работы. Если в результате дифференцирования критерия наилучшего совпадения экспериментальных и расчетных данных по каждой переменной получается система нелинейных алгебраических уравнений, ее можно решать любым методом решения систем нелинейных алгебраических уравнений (например, методом Ньютона-Рафсона, другими итерационными методами).

При выводе результатов расчета предусмотреть сравнение расчетных и экспериментальных данных по давлению.