Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Теорема Крамера. Теорема Крамера является не только условием существования и единственности решения системы линейных алгебраических уравнений, но и одним из методов решения системы. Пусть имеется система уравнений вида:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂ (3.5)

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃

Или в матричном виде A ^. X = B

где А - матрица коэффициентов системы уравнений (3.5); Х - вектор неизвестных; В - вектор свободных членов.

Согласно теореме Крамера решение может быть найдено по формуле:

i=1, 2, 3 (3.6)

где А_i - матрица А, у которой i-й столбец заменен вектором правых частей - вектором В.

Формулу (3.6) удобно использовать для решения систем линейных уравнений невысокого порядка, так как с увеличением порядка системы резко возрастает объем вычислений, связанный с нахождением определителей.

Для вычисления определителя матрицы порядка n используется выражение: detA = ^ a_11, a_22, a_33, ... a_nn, (₁₂ ...._n), (3.7)

здесь a_ij - элемент из i-ой строки j-ого столбца;  = 0, если перестановка четная,  = 1 - если нечетная. Так как каждое слагаемое в определителе матрицы n-го порядка является произведением n элементов матрицы, причем элементы выбираются по одному из каждой строки и каждого столбца. Столбцы, которым принадлежат элементы каждого слагаемого, образуют некоторую перестановку. Четность перестановки характеризуется числом нарушений возрастающего порядка записи номеров столбцов.

Метод Гаусса. В основе метода Гаусса используются элементарные преобразования матрицы коэффициентов системы с целью приведения ее к более простому виду (например, треугольному), решение которой не представляет труда. В качестве таких преобразований используются:

а) вычитание из одной строки другой, умноженной на константу, отличную от нуля;

б) перестановка строк;

в) умножение строки на число, отличное от нуля.

Пусть матрица коэффициентов системы (3.5) не имеет нулевых диагональных элементов и ее определитель отличен от нуля. Тогда решение может быть получено в результате выполнения следующей последовательности действий.

1) Разделим все элементы первой строки на a₁₁, включая b₁.

2) Исключим элементы первого столбца (элементы а₂₁ и а₃₁).

Для этого из элементов второй и третьей строки вычтем элементы первой строки, умноженные на a₂₁ и a₃₁ , соответственно.

3) Вновь полученную вторую строку разделим на a₂₂.

4) Исключим элемент a₃₂ из третьей строки, для чего из элементов третьей строки вычтем элементы второй, умноженные на a₃₂.

5) Из последнего уравнения находим x₃, из второго- x₂ и из первого- х₁.

При решении систем более высокого порядка аналогичные дейст­вия производятся над элементами всех строк.

Метод Гаусса является одним из распространенных методов решения систем линейных уравнений. Однако при его использовании следует иметь ввиду, что объем вычислений пропорционален n³, где n - порядок системы.