Указания и требования к выполнению работы.

1. Ознакомиться с описательной частью лабораторной работы.

2. Ознакомиться с методом вычисления интеграла в соответствии с вариантом.

3. Проверку методов осуществить на функции y=x² на интервале [0,1]

4. Интегрирование производить с переменным шагом до достижения заданной относительной точности.

5. Ввод данных и вывод результатов проводится в разноцветные окна с рамочками.

Методы численного интегрирования

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла по ряду значений подынтегральной функции, т.е. в составлении интегральной суммы. Чем меньше интервалы разбиения (больше узловых точек, т.е. точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции), тем точнее будет вычислен интеграл. Для функции, заданной таблично, число узловых точек фиксировано, и задача вычисления интеграла обычно сводится к замене этой функции на рассматриваемом отрезке интерполирующей функцией простого вида, интеграл от которой вычисляется непосредственно. Для аналитически заданных функций возможны два способа выбора точек разбиения исходного интервала: либо число точек или интервалов фиксируется заранее, либо число и величины интервалов определяются в процессе вычисления интеграла в зависимости от заданной точности.

В обоих случаях исходная функция на каждом интервале заменяется соответствующей зависимостью.

1. Метод прямоугольников основан непосредственно на определении интеграла

(2.1)

где - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению: ₁, ₂,..., _n - некоторые точки на интервалах разбиения, в которых вычисляются значения функции. Чаще всего отрезок [a,b] делится на равные части и в качестве узловых точек выбираются границы интервалов разбиения. В этом случае формулы метода прямоугольников имеет вид:

[f(x₀)+ f(x₁)+ ... + f(x_n-1)] (2.2)

или

[f(x₁)+ f(x₂)+ ... + f(x_n)] (2.3)

2. Метод трапеций основан на том, что график подынтегральной функции на каждом интервале разбиения заменяется стягивающей ее хордой, и площадь ограниченная функцией на интервале, заменяется площадью трапеции. В этом случае при равных интервалах формула метода трапеций имеет вид:

[f(a)/2+ f(x₁)+ ... + f(x_n-1)+f(b)/2] (2.4)

Здесь: =h - шаг интегрирования.

3. Метод Симпсона основан на том, что через три ординаты двух соседних интервалов проводится парабола и получающиеся при этом площади складываются. В отличии от предыдущих методов здесь отрезок [a,b] следует делить на четное число интервалов (например, на 2n).

Формула метода Симпсона при этом будет иметь вид:

[f(a)+4f(x₁)+2f(x₂)+...+4f(x_2n-1)+2f(x_2n-2)+...+f(b)] (2.5)

4. Метод Чебышева состоит в том, что интеграл представляется в виде:

[f(X₁)+ f (X₂)+ ... + f (X_n)] (2.6)

где X_i=(a+b)/2+t_i(b-a)/2–абциссы t_i приведены в табл.1, n - число узловых точек.

При этом вывод t_i определяется из условия, что формула 2.6 справедлива для всех полиномов f(X_i) до степени m включительно; m=2n1 на интервале от –1 до +1. Подставляя в уравнение (2.6) функции: f(t_i) = t¹,t², ..., t^m-1,t^m , и зная точное значение интеграла на интервале [1+1] получим систему нелинейных алгебраических уравнений, в результате решения которой определяются значения t_i. Для числа узловых точек n=2,3,4,5,6,7,9 значения t_i приведены в таблице 1. Для n=8 и n>9 формула Чебышева неприменима.

Таблица № 1.

n	I	ti
2	1;2	+ 0.577350; - 0.577350;
3	1;2;3	_+ 0.707107; 0; - 0.707107;
4	1;2;3;4	+ 0.794654; + 0.187592; - 0.187592; - 0.794654;
5	1;5;2;4;3	±0.832498; ±0.374541; 0
6	1;6;2;5;3;4	±0.866247; ±0.422519; ±0.266635;
7	1;7;2;6;3;5;4	±0.883862; ±0.529657; ±0.323919; 0
9	1;9;2;8;3;7;4;6;5	±0.911589; ±0.601019; ±0.528762; ±0.167906;0

4. Метод Гаусса основан на том, что в формуле:

(2.7)

где X_i=a+(b-a)t_i. Коэффициенты A_i и абциссы t_i выводятся для интервала от –1 до +1 и приведены в табл. 2.

На интервале от –1 до +1, выбор абсцисс t₁, t₂, ..., t_i и коэффициентов А₁,А₂, ... А_i производится таким образом, чтобы формула 2.7 была точной для всех полиномов f(X_i) с наивысшей возможной степенью m. В этом случае коэффициенты А_i и положение узловых точек t_i определяются решением системы уравнений, которая получается при подстановке f(t_i)=1,t,t²,t³,...t^m в левую и правую части формулы (2.7), где: n - число узловых точек, m=2n-1.

Следует отметить, что абсциссы t_i являются корнями полиномов Лежандра.

Таблица № 2.

n	i	ti	Ai
1	1	0.5	1
2	1;2	0.211325; 0.788675;	0.5; 0.5;
3	1;2;3	0.112702; 0.5; 0.887298;	5/18; 4/9;5/18;
4	1;2; 3;4	0.069432; 0.3300009; 0.669991; 0.930568;	0.173927; 0.326073; 0.326073; 0.173927;
5	1;2; 3;4;5	0.046910; 0.230765; 0.5; 0.769235; 0.953090;	0.118463;0.239314; 0.284444;0. 239314;0. 118463
6	1;2;3; 4;5;6	0.033765;0.169395;0380690; 0.619310;0830605;0.966235	0.085662;0.180381;0.233957; 0.233957; 0.180381; 0.085662
7	1;2;3; 4;5;6; 7	0.025446; 0.129234; 0.297077; 0.5; 0.702923; 0.870766; 0.974554	0.064742; 0.139853; 0.190915; 0.208980; 0.190915; 0.139853; 0.064742
8	1;2;3; 4;5;6; 7;8	0.019855; 0.101667; 0.237234; 0.408283; 0.591717; 0.762766; 0.898333;0.980145	0.050614; 0.1111191; 0.156853; 0.181342; 0.181342; 0. 156853; 0. 1111191; 0.050614

Так как точность методов численного интегрирования в значительной степени определяется величиной шага интегрирования. Для методов прямоугольников, трапеций, Симпсона изменение шага интегрирования не приводит к изменению формулы, точнее алгоритма вычислений. По этому интегрирование с переменным шагом заключается в том, что интеграл вычисляется многократно при различном числе точек разбиения исходного интервала, т.е., при различной величине шага, и каждый раз сравниваются две последующие интегральные суммы. Если разность между ними по модулю не превосходит заданной погрешности, то вычисления прекращаются, в противном случае производится дальнейшее изменение величины шага интегрирования, и расчеты повторяются. В простейшем случае изменение величины шага интегрирования производится путем последовательного увеличения числа узловых точек на определенное число (например, на единицу).