Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть в изотермическом реакторе идеального вытеснения протекает реакция типа: К_А

А  Р,

скорость которой определяется выражением:

r_А = - К_Ах_А , где К_А- константа скорости реакции;

х_А - концентрация реагента А по длине аппарата, запишется в виде:

= r_А = - К_А x_A = f(,х_А) (6.5)

с начальными условиями

Следовательно, для определения зависимости х_A = f() необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение (6.5).

Формулы Эйлера. Пусть функция x=f() -(решение уравнения (6.5)) непрерывна и дифференцируема. Воспользуемся разложением этой функции в ряд Тейлора до второго члена включительно в окрестности точки х (см.рис.5), т.е. заменим график функции касательной в точке х :

x = x₀ +  f(₀ ,x₀ ) (6.6)

где  - шаг интегрирования; f( ,x ) - правая часть уравнения (6.5) при х=х₀ , =₀. Следовательно, уравнение (6.6) позволяет вычислить значение функции f(х) в точке +. Используя вычисленное значение в качестве начального, по формуле (6.6) найдем решение в точке +2 и т.д.

x

x₂

x₁

x₀

₀ ₁ ₂ 

Рисунок 7.

Таким образом, в результате многократного применения формулы Эйлера - (6.6) будет получена последовательность значений функции и аргумента, которая является решением дифференциального уравнения (6.5). Нетрудно заметить, что точность решения по формуле (6.6) будет пропорциональна ² и для увеличения точности необходимо уменьшить шаг интегрирования .

Для повышения точности формулы (6.6) можно воспользоваться некоторым усреднением тангенса угла наклона касательной в точке  .

При решении дифференциальных уравнений с использованием модифицированной формулы Эйлера тангенс угла наклона касательной при вычислении последующего приближения равен правой части уравнения (6.5), вычисленной в точке _i + /2, т.е. используется формула (6.7):

х

2 3

x₁

x₀

1 _i _i+/2, _i+1 

Рисунок 8.

x_i+1=x_i+ f(_i+ /2, x_i +/2 f(_i,x_i)) (6.7)

Как следует из рис. 8, значение функции х_i+1 вычисляется следующим образом: 1. Определяется значение производной в точке _i (линия 1).

2. Определяется значение производной в точке _i+ /2 (линия 2).

3. Из точки _i до пересечения с вертикалью =_i+ /2 проводится прямая (6.6), угол наклона которой соответствует производной в точке _i+ /2 (линия 3).

Очевидно, если промежуточная точка, в которой вычисляется направление отрезка интегральной прямой, отстоит от соседних точек на величину шага, то формула (6.7) перепишется в виде:

x_i+1=x_i+2 f(_i,x_i) (6.8)

При вычислении последующих приближений по усовершенствованной формуле Эйлера-Коши тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой определяется как тангенс угла наклона биссектрисы касательных к кривой в двух прилежащих точках, т.е. в соответствие с формулой:

x_i+1=x_i+/2(f(_i,x_i)+f(_i+,x_i+ f(_i,x_i))) (6.9)

Вычисления по формуле (6.9) производятся следующим образом (рис. 7):

3 2’

Х 2

x_i+2 3’

x_i+1

x_i

_i _i+1 _i+2 

1

Рисунок 9.

1. В точке _i вычисляется значение производной;

2. Вычисляется значение производной в точке _i+1=_i+ ;

3. Из точки _i до пересечения с прямой =_i+1 проводится прямая, угол наклона которой равен полусумме углов наклона касательных в точках _i и _i+1 .

При использовании формул (6.7) и (6.8) для интегрирования дифференциальных уравнений с одинаковым шагом точность решения значительно возрастает по сравнению с формулой (6.6).

Решение по формуле Эйлера-Коши можно улучшить, если воспользоваться итерационным способом уточнения каждого значения х_i+1. В этом случае, исходя из начального приближения, итерационный процесс проводится по формуле:

x_i+/2(f(_i,x_i)+f(_i+1,x^k_i+1)) (6.10)

и вычисления на каждом шаге повторяются до тех пор, пока не будет выполнено условие:

Формулы Рунге-Кутта. Эти формулы интерпретируются геометрически по сравнению с формулами Эйлера как некоторая другая стратегия усреднения тангенса угла наклона отрезка интегральной прямой.

Различают формулы Рунге-Кутта первого, второго, третьего, четвертого и выше порядков. При увеличении порядка формулы возрастает объем вычислений, производимых на каждом шаге интегрирования. При выводе формул Рунге-Кутта порядка выше первого для определения коэффициентов уравнений необходимо фиксировать значения некоторых коэффициентов (задавать численные значения). Поэтому существует большое разнообразие формул, отличающихся коэффициентами. Так, в частном случае из формулы второго порядка, могут быть получены модифицированная и усовершенствованная формулы Эйлера. Формулы наиболее часто используемые в практике решения уравнений, получаются исходя из удобства вычисления коэффициентов.

При решении обыкновенных дифференциальных уравнений наибольшее распространение получили формулы четвертого порядка. Примером формулы Рунге-Кутта четвертого порядка являются соотношения:

x_i+1 = x_i + 1/6 (k₁ + 2k₂ +2k₃ + k₄) (6.11)

где:

k₁ = f(_i,x_i)

k₂ = f(_i+ /2, x_i + k₁ /2)

k₃ = f(_i+ /2, x_i + k₂ /2)

k₄ = f(_i+ , x_i + k₃ )

Примером формулы пятого порядка является формула Рунге-Кутта-Мерсона:

x_i+1 = x_i + 1/6 (k₁ + 4k₄ + k₅) (6.12)

где:

k₁ =  f(_i,x_i)

k₂ =  f(_i+ /3, x_i + k₁ )

k₃ =  f(_i+ /3, x_i + k₁/2+ k₂/2)

k₄ =  f(_i+ /2, x_i + k₁ 3/8+ k₃ 9/8 )

k₅ =  f(_i+ , x_i + k₁ 3/2 - k₃ 9/2 + 6 k₄)

Формулы Рунге-Кутта четвертого порядка обеспечивают точность, пропорциональную ⁵.

В двух следующих методах преодолен недостаток методов Эйлера, Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона: многократное вычисление на каждом шаге производной с последующим их “усреднением”, путем прогноза и коррекции поведения функции в текущей точке на основе информации о ее значениях в предшествующих точках. Интегрирования уравнений проводится конечно-разностными методами с использованием аппроксимации решения формулами Ньютона для интерполирования назад (метод Адамса) и для интерполирования вперед (метод Милна).

Метод Адамса

Интегрирование уравнения:

f(,х) = x’ данным методом проводят по следующей рекурентной формуле с точностью до разностей третьего порядка:

x_i+1 = x_i + (55x’_i - 59x’_i-1 + 37 x’_i-2 - 9 x’_i-3)/24 (6.13)

Метод Милна

Интегрирование уравнения:

f(,х) = x’ данным методом проводят по следующим рекурентным формулам:

x_i = x_i-2 + (x’_i + 4 x’_i-1+x’_i-2)/3 (6.14)

и

x_i = x_i-4 + 4(x’_i-1 - x’_i-2+2x’_i-3)/3 (6.15)

Причем используются обе формулы. Сначала определяется первое x_i⁽¹⁾ приближение по формуле (6.15), затем второе x_i⁽²⁾ по формуле (6.14). Если при этом выполняется условие: abs(x_i⁽¹⁾ - x_i⁽²⁾)/2  , где - точность решения, то в качестве решения принимается x_i⁽²⁾. В противном случае расчеты по этим формулам повторяются, но с меньшим шагом.

Для увеличения точности интегрирование дифференциальных уравнений проводят с переменным шагом. В простейшем случае переменный шаг обеспечивается следующим образом. Из начальной точки проводится вычисление двух значений интегральной кривой с шагом /2 и одного значения с шагом . Если разность полученных значений функций (по модулю) не превышает заданной погрешности, то интегрирование проводится с шагом , в противном случае - с шагом /2.