2. Метод наименьших квадратов

Интерполирование функций возможно в том случае, если число экспериментальных точек не превышает число определяемых коэффициентов. При n > m задача интерполирования, вообще говоря, становится невозможной. В этом случае целесообразнее поставить задачу определения коэффициентов аппроксимирующей зависимости исходя из условия наилучшего, в некотором смысле, приближения расчетных и экспериментальных значений.

Пусть имеется последовательность экспериментальных значений х_i и у_i(i=1,2,..n) при этом известна зависимость, которой должна удовлетворять эта последовательность:

у_i = f(х_i, a₁, a₂, ..., a_m) n > m i = 1,2,...,n (4.9)

где a₁, a₂, ..., a_m - параметры, которые подлежат определению.

В методе наименьших квадратов коэффициенты уравнения (4.9) определяются исходя из условия минимума суммы квадратов отклонений по всем точкам между расчетными и экспериментальными значениями:

R(a₁, a₂, ..., a_m) = [у_i - f(х_i, a₁,a₂,...,a_m)]² - min (4.10)

Поскольку критерий R(a₁,a₂,...,a_m) является функцией неизвестных параметров, его использование позволяет свести систему уравнений (4.9) к нормальному виду, т.е. виду когда число неизвестных равно числу уравнений, Условием существования экстремума функции нескольких переменных является равенство нулю частных производных по каждой из переменных. Поэтому для приведения системы (4.9) к виду, удобному для решения, необходимо найти частные производные функции R по каждой из переменных: a₁, a₂, ..., a_m:

j=1,2,...m (4.11)

Коэффициенты зависимости (4.9) получаются в результате решения системы уравнений (4.11).

Если функциональная зависимость (4.9) является нелинейной, то нахождение коэффициентов представляет определенные трудности.

Это объясняется тем, что, во-первых, не всегда возможно аналитически получить частные производные (4.10), во-вторых, нормальная система уравнений вида (4.11) нелинейная относительно искомых коэффициентов и ее решение сопряжено с рядом вычислительных трудностей. Наиболее распространенным случаем использования метода наименьших квадратов является ситуация, когда зависимость (4.9) линейная относительно искомых параметров. Если же она нелинейная, то часто путем алгебраических преобразований и заменой переменных эту зависимость удается линеаризовать. В этом случае для определения коэффициентов a₁, a₂, ..., a_m можно воспользоваться методами решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим порядок получения нормальной системы уравнений при аппроксимации экспериментальных данных многочленами и произвольной эмпирической зависимостью, линейной относительно искомых параметров.

Аппроксимация с помощью многочленов. Пусть для описания экспериментальных данных x_i, y_i (i=1,2, ..., n) используется многочлен:

f(х) = a ₀ + a ₁x + a ₂ x² + ... + a _m x^m = a _ixⁱ (4.12)

Для определения коэффициентов a₀,a₁, a₂, ..., a_m запишем соотношение (4.10) и вычислим частные производные:

Таким образом, для определения коэффициентов a₀,a₁, a₂, ..., a_m

необходимо решить систему уравнений:

a₀n +a₁ + a₂ + a_m =

a₀+a₁ + a₂ + a_m =(4.13)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a₀+a₁ + a₂ + a_m =

Аппроксимация с помощью произвольной эмпирической зависимости.

Пусть для описания экспериментальных точек x_i,y_i (i=1,2, ..., n) используется линейная зависимость вида:

f(х) = a ₁₁(x) + a ₂ ₂(x) + ... + a _m _m(x) = a _i_i(x) (4.14)

где _i(x) - известные функции независимой переменной.

Записав выражение (4.10) для функции (4.14) и вычислив частные производные, получим следующую систему уравнений:

a _l_l(x_i)_j(x_i) = y _i_j(x_i) (4.15)

Пример. Для описания зависимости константы скорости химической реакции от температуры используется выражение в форме уравнения Аррениуса:

K = K_ exp(-E/RT) (4.16)

где К_ - частотный фактор реакции: Е - энергия активации реакции; R - газовая постоянная.

Определить параметры уравнения К_, E - если известны экспериментальные значения К_i , T_i (i=1,2, ..., n).

Выражение (4.16) не линейно относительно искомых параметров, однако оно приводится к линейному виду после логарифмирования:

ln K = ln К_ -E/RT

Обозначая ln K = a; ln К_ = b; -1/RT = с; получим: a = b + E с

Таким образом, для определения параметров b и Е необходимо решить систему линейных уравнений вида:

n b + E c_i = a_i

b c_i + E c²_i = a_ic_i