1. Интерполирование.

В общем случае задача интерполирования ставится следующим образом. Для заданной последовательности значений х_i и у_i (i=1,2,..n) построить такую функцию f(х_i ), которая в заданных точках х_i принимала бы значения у_i, т.е. выполнялось бы условие:

f(x₁)=y₁; f(x₂)=y₂; ... f(x_n)=y_n; (4.1)

Пусть f(х)=f(х, а₁, а₂, ..., а_m), (m ≤ n) (4.2)

произвольная функциональная зависимость в общем случае нелинейная относительно неизвестных коэффициентов а₁, а₂, ..., а_m. Тогда задача интерполирования заключается в определении указанных коэффициентов исходя из условия (4.1). Поскольку соотношение вида (4.2) можно записать для каждого из значений х_i ,определение коэффициентов а_j производится путем решения системы уравнений:

f(x , а₁, а₂, ..., а_m) = y_i, i = 1,2,...,n (4.3)

Решение системы уравнений (4.3) значительно упрощается, если функциональная зависимость линейна относительно коэффициентов. В этом случае определение коэффициентов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Одним из наиболее распространенных классов функций, используемых при интерполировании, является класс многочленов. Функция f(х) при этом представляется в следующем виде:

f(х) = a₀ + a₁ x + а₂ x².+ . . . +a_m x^m = ^j (4.4)

Если принять, что m=n+1, то задача интерполирования заключается в решении системы уравнений:

a₀ + a₁ x₁ + а₂ x₁².+ . . . +a_m x₁^m = y₁

a₀ + a₁ x₂ + а₂ x₂².+ . . . +a_m x₂^m = y₂

a₀ + a₁ x₃ + а₂ x₃².+ . . . +a_m x₃^m = y₃ (4.5)

. . . . . . . . . .

a₀ + a₁ x_n + а₂ x_n².+ . . . +a_m x_n^m = y_n

относительно коэффициентов а₁, а₂, ... , а_m.

Система уравнений (4.5) имеет единственное решение, поскольку определитель матрицы коэффициентов (определитель Вандермонда) отличен от нуля.

Другим способом определения коэффициентов уравнения (4.4), позволяющим избежать решения системы уравнений (4.5), является построение интерполяционных многочленов, обеспечивающих равенство расчетных и экспериментальных значений функции в заданных условиях интерполирования, т.е. в точках (х_i и у_i).

Интерполяционный многочлен Лагранжа, принимающий значения y₁, y₂, y₃,...y_n+1 в соответствующих точках, записывается в виде [1]:

P_n(x)= (4.6)

Интерполяционный многочлен Лагранжа можно построить при любом расположении узлов интерполирования (точки могут быть не равно- отстоящими). Однако его недостатком является то, что при изменении числа точек все коэффициенты вычисляются заново.

Более удобным в вычислительных аспектах являются интерполяционные формулы Ньютона. Формула Ньютона для равностоящих узлов записывается в виде:

для интерполирования вперед:

P_n(x) = y₁+...(4.7)

для интерполирования назад:

P_n(x)=y_n+1+...(4.8)

где - конечные разности функцииf(х), определяемые соотношениями:

 y₁= y₂ - y₁

²y₁ = y₂ - y₁= y₃ - 2 y₂ + y₁

................................................

ⁿy₁ = (^n-1y₁)

Формулы Ньютона удобны в том смысле, что при изменении числа узловых точек изменяется число членов, однако коэффициенты не пересчитываются заново.

Для интерполирования по формулам Ньютона для не равностоящих узлов можно воспользоваться формулами с разделенными конечными разностями.