1 / Решение задач Кинематика
.pdfНАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
параллелограмма.
По теореме синусов имеем:
V |
= |
Vr |
= |
Ve |
. |
|
sinα |
cos kt |
cos(kt −α) |
||||
|
|
|
Отсюда находим модуль относительной скорости
V |
= rk |
cos kt |
. |
|
|||
r |
|
sin α |
|
|
|
||
Проекция переносной скорости на ось х будет:
Vex = −rk(sin kt +cos(kt)ctgα).
Второй способ решения быстрее и проще ведет к цели, если требуется определить только скорости в абсолютном, переносном и относительном движениях. Если же необходимо, кроме этих скоростей, найти и уравнения абсолютного, переносного и относительного движений, то целесообразно применить первый способ решения.
Ответ: уравнения абсолютного движения
x = r cos kt, y = r sin kt,
уравнения относительного движения |
|
|
|||||
η = r |
sin kt |
|
, |
|
|||
sinα |
|
||||||
абсолютная скорость |
|
|
|
||||
V = rk, |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
относительная скорость |
|
|
cos kt |
|
|||
V |
= rk |
, |
|||||
|
|||||||
r |
|
|
sin α |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
переносная скорость
Vex = −rk(sin kt +cos(kt)ctgα).
Задача №2
Для сообщения поступательного движения в станках применяют механизм, состоящий из прямолинейного стержня, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω вокруг точки О так, что угол φ=ωt. Дойдя до упора, стержень начинает вращаться с той же угловой скоростью в противоположном направлении Ползун А вращается вместе со стержнем и одновременно может перемещаться вдоль стержня. Прямая АВ, шарнирно соединенная с ползуном, движется в горизонтальных направляющих, осуществляя возвратнопоступательное движение.
Зная расстояние l от шарнира О до прямой АВ, определить ее скорость и ускорение в поступательном движении.
51
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Решение
Первый способ Проведем неподвижные оси координат с началом в шарнире О. Тогда
координаты точки А определяются уравнениями
x = lctg(ωt), y = l.
Величина скорости точки А тогда будет:
V = |
dx |
= − |
lω |
, |
(1) |
|
dt |
sin2 ωt |
|||||
|
|
|
так как точка А движется прямолинейно. Величина ускорения точки А определится как производная от скорости по времени.
a = dV |
= |
2lω2 cosωt |
, |
(2) |
|
sin3 ωt |
|||||
dt |
|
|
Второй способ.
Рассмотрим абсолютное движение точки А ползуна как составное: переносное
– вращение вместе со стержнем ОА и относительное – прямолинейное движение вдоль стержня ОА. Тогда модуль переносной скорости точки А будет:
Ve = OA ω = sinlωϕ .
Направлена переносная скорость перпендикулярно к стержню ОА, следовательно, она образует со стержнем АВ угол 90°–φ. Относительная скорость (в прямолинейном движении по ОА) равна производной от ОА по времени и направлена по ОА
V |
= |
d |
|
l |
|
|
= − |
lωcosωt |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
r |
|
|
|
|
|
sin ωt |
|||
|
|
dt sin |
ωt |
|
|||||
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Проектируя векторное равенство
V =Ve +Vr ,
определяющее абсолютную скорость точку А, на направление АВ, находим:
|
|
|
cos2 ωt |
|
lω |
|
|||||
V = −Ve sin ωt +Vr |
cosωt = −lω 1 |
+ |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
, |
sin |
2 |
|
sin |
2 |
ωt |
||||||
|
|
|
|
ωt |
|
|
|
||||
что совпадает с (1). |
|
Переходим к определению абсолютного ускорения точки А. |
|
Согласно теореме сложения ускорений |
|
a = ae +ar +aC . |
(3) |
Так как ω=const, то величина переносного ускорения будет:
ae = (OA)ω2 = sinlωω2 t .
Оно направлено от А к центру О. Значение относительного ускорения в прямолинейном движении равно
ar = |
dV |
lω2 (1+cos2 ωt) |
. |
|
r |
= |
|
||
|
sin2 ωt |
|||
|
dt |
|
||
Оно направлено по прямой ОА. Ускорение Кориолиса равно по величине aC = 2ωVr sin 90o = 2lω2 cosωt .
Направление ускорения определится поворотом вектора относительной скорости на 90° в сторону переносного вращения, так как в рассматриваемом случае перпендикулярно к . Проектируя, далее, векторное равенство на направление абсолютного ускорения, совпадающего с осью х, находим
a = (−ae +ar ) cosωt +aC sin ωt = 2lω2 cosωt .
что совпадает с (2). Ответ:
V = |
dx |
= − |
lω |
, a = |
2lω2 cosωt |
. |
|
dt |
sin2 ωt |
sin3 ωt |
|||||
|
|
|
|
53
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Библиографический список
1.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. - СПб.: Политехника, 2001.Ч.1,2.
2.Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. -
СПб.: Лань, 2002.
3.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - СПб.:
Лань, I998.
4.Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 2003.
5.Попов М.В. Теоретическая механика. - М.: Наука, 1986.
6.Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / под ред. А.А.Яблонского.- СПб.: Лань, 2001.
7.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.- М.: Наука, I998.
8.Яблонский А.А. Курс теоретической механики. - СПб.: Лань, 1998.Ч.1,2
Содержание |
|
ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................................... |
2 |
1. ТРИ СПОСОБА ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.................................................................... |
3 |
1.1. Естественный способ задания движения точки....................................................................... |
3 |
1.2. Координатный способ задания движения точки...................................................................... |
4 |
1.3. Векторный способ задания движения точки............................................................................ |
5 |
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ........................................................... |
5 |
2.1.Определение скорости точки...................................................................................................... |
5 |
2.2. Определение ускорения точки................................................................................................... |
6 |
3. ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА.................................................................................................. |
8 |
3.1. Поступательное движение твёрдого тела. ................................................................................ |
9 |
3.2. Вращение тела вокруг неподвижной оси................................................................................. |
9 |
3.3. Плоско-параллельное движение твёрдого тела...................................................................... |
14 |
3.3.1. Мгновенный центр скоростей............................................................................................... |
15 |
3.3.2. Ускорение точек плоской фигуры........................................................................................ |
18 |
3.3.3. Мгновенный центр ускорений.............................................................................................. |
19 |
3.4. Сложное движение точки твёрдого тела................................................................................. |
20 |
ЗАДАЧИ............................................................................................................................................ |
24 |
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ................................................................... |
24 |
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ.................................................................................................... |
29 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ.................................................................. |
37 |
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ................................................................................................................. |
39 |
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ................................................................................................................ |
49 |
Библиографический список............................................................................................................. |
54 |
54
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Учебное издание
Кузнецова Наталья Владимировна Головко Виктор Евгеньевич Саблина Маргарита Владимировна Петров Сергей Гаррикович
Кинематика
Примеры решения задач по теоретической механике
для самостоятельной работы студентов
Учебно-методическое пособие
Редактор и корректор Н.П.Новикова Техн. редактор Л.Я.Титова Темплан 2009 г., поз.62
____________________________________________________________
Подп. к печати 21.05.09. Формат 60х84/16.
Бумага тип. №1. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,5. Усл. печ. л., 3,5. Тираж 100 экз. Изд. № 44. Цена “C”. Заказ 1958
___________________________________________________________
Ризограф ГОУ ВПО Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров, 198095, Санкт-Петербург, ул. Ивана Черных, 4.
55