1 / Решение задач Кинематика
.pdf
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Скорость точки В:
VB =ωAB BP =ωAB h =0.3015 20 =6.03 смс .
2. Вертикальные положения кривошипа ОА.
ω |
VB |
VA |
VA |
ω |
VB
При вертикальных положениях кривошипа ОА МЦС находится в
|
V |
=V |
|
=ω OA =1.5 40 =60 |
|
см |
. |
бесконечности, поэтому: |
A |
|
|
||||
B |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
с |
|
Ответ: горизонтальные положения –
VB =6.03 смс ,
вертикальные положения –
VB = 60 смс .
41
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Задача №2 (16.24)
Поршень D гидравлического пресса приводится в движение посредством шарнирно-рычажного механизма OABD. В положении, указанном на рисунке,
рычаг OL имеет угловую скорость ω = 2 радс .
Определить: скорость поршня D и угловую скорость звена AB, если
OA=15 см.
Решение:
Шарнирно-рычажный механизм совершает плоско-параллельное движение. МЦС звена AB (точка Р) совпадает с точкой О.
Скорость точки А:
VA =ω OA =ωAB AP;
ωAB |
= |
ω OA |
= |
ω OA |
=ω = 2 |
|
1 |
|
AP |
OA |
|
|
. |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
c |
|
|||
Поршень BD вместе со штоком совершает поступательное движение:
V |
=V |
=ω |
|
|
BP =ω |
|
|
OA |
|
|
= 2 |
15 2 |
= 20 |
3 |
=34, 6 |
|
см |
. |
|||||
AB |
AB |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
D |
B |
|
|
|
|
|
|
|
cos 30 |
|
|
3 |
|
|
|
с |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
|
|
см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V |
=34, 6 |
, |
ω |
|
|
= 2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
42
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Задача №3 (16.35)
Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью ω0 =2,5 радс вокруг оси О неподвижного колеса радиуса r2 =15(cм), приводит в движение насаженную на
его конец А шестерёнку радиуса r1 =5(см).
Определить: величину и направление скоростей точек А, В, С, D, Е подвижной шестерёнки, если CE BD .
|
VC |
r1 |
VD |
|
VA |
ω1
r2 |
0 |
E |
Решение
Определяем скорость точки А как точки, принадлежащей вращающемуся кривошипу ОА.
VA =ω0 OA =ω0 (r1 +r2 )= 2.5(5 +15)=50 cсм .
Скорость точки А направлена по перпендикуляру к кривошипу ОА и согласована с направлением угловой скорости ω0 .
Определяем угловую скорость подвижной шестерёнки 1, которая катится без скольжения по неподвижной шестерёнке 2.
Шестерёнка 1 совершает плоское движение. МЦС находится в точки касания с неподвижной шестерёнкой.
ω1 = |
V |
А |
= |
V |
A |
= |
50 |
=10 |
|
рад |
||
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
AP |
|
|
|
5 |
с |
|||||||
|
|
|
r1 |
|
|
|
||||||
Угловая скорость направлена по часовой стрелке. Определяем скорости точек C, D, E:
V |
=V |
=ω |
CP =ω r |
2 =10 5 2 |
=70,7 |
|
см |
|
; |
|
|
|
|||||||
C |
E |
1 |
1 |
|
|
с |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
V = ω DP = 10 10 = 100 см .
D1 с
Скорости точек С, D, Е направлены по перпендикулярам, соединяющим эти точки с МЦС, совпадающем с точкой В.
|
V |
|
= 50 |
cм |
, |
V = 0, |
VC |
= VE |
= 70,7 |
|
см |
, V |
= 100 |
|
см |
. |
|||
Ответ: |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
с |
|
Задача №4 (18.11)
Кривошип ОА длиной 20 см вращается равномерно со скоростью
ω0 = 10 радс и приводит во вращение шатун АВ длиной 100 см; ползун В
движется по вертикали.
Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также ускорение ползуна В в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и
образуют с горизонтальной осью углы α = 450 и β = 450 .
Решение
1. Определяем скорость точки А:
V = ω OA = 10 20 = 200 см .
A0 с
VA направлена по перпендикуляру к ОА и согласована с направлением ω0 .
2. Определяем скорость точки В.
Шатун АВ совершает плоское движение. МЦС находится на пересечении перпендикуляров к скоростям точек А и В.
44
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Угловая скорость звена АВ:
ω = VA = VA = 200 = 2 рад ;
АВ AP AB 100 с
ωАВ направлена по часовой стрелке :
V |
= ω |
|
BP = 2 100 2 |
= 282,8 |
|
см |
|
; |
AB |
|
|
|
|||||
B |
|
|
|
с |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
VB направлена по направляющей вверх. 3. Определяем ускорение точки А:
aA = aAц + aAвр;
aцA = ω02 AO = 102 20 = 2000 смс2 .
aAвр направлено к оси вращения звена АО:
aAвр = ε0 АО= 0,
так как ω0 = const , ε0 = ddtω0 = 0 ,
ц |
2 |
вр |
) |
2 |
= 2000 |
|
см |
||
aA = (aA ) |
|
+ (aA |
|
|
с |
2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Определение ускорения точки В:
Принимаем за полюс точку А и пользуясь теоремой об ускорениях плоской фигуры запишем:
aB = aA + aBцА + aBврА. |
( ) |
Центростремительное ускорение во вращательном движении точки вокруг полюса А:
ц |
2 |
2 |
100 |
= 400 |
|
см |
||
aBА = ωAB AB = 2 |
|
|
с |
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вращательное ускорение:
aBврА = εAB AB.
Чтобы найти εAB , воспользуемся графическим построением:
-отложим из точки В ускорение полюса А: aA ;
-из конца вектора aA отложим aABц в направлении оси от точки В к полюсу
А;
- из конца аABц проведём направление аABвр до пересечения с направлением
аВ ;
45
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
-аB направлено по вертикали;
-аAврB перпендикулярно аABц .
Расставим стрелки согласно векторному равенству ( ) .
Векторное равенство ( ) содержит 2 неизвестные алгебраических
значения аВ и аABвр .
Спроектируем векторное равенство ( ) на две взаимно перпендикулярные
оси X и Y.
На ось X:
0 = −aA cos 45o +aBцА cos 45o +aBврА cos 45o.
Отсюда
aBврА = aA −aBцА = 2000 - 400 =1600 см/ с2 .
Угловое ускорение εAB :
εAB = аBврА = 1600 = 16 рад/ с2 .
AB 100
Угловое ускорение направлено в такую сторону, в которую вектор аBврА ,
помещённый в точку В, стремится повернуть плоскость относительно полюса А, то есть по часовой стрелке.
На ось Y:
−aB = −aA cos 45o −aBцА cos 45o +aBврА cos 45o.
Отсюда |
|
аB =(аA +аBцА −аBврА )cos 45o =(2000 +400 −1600) 0,707 = 565,6 см/ с2 . |
|
5. Определяем скорость точки В пользуясь теоремой о скоростях точек |
|
плоской фигуры: |
|
VB =VrA +VrBA |
(**) |
VrBA - вращательная скорость точки В при вращении вокруг полюса А. |
|
r VBA = ωAB AB
VBА направлена перпендикулярно радиусу вращения АВ. Построим графически равенство (**):
-отложим из точки В скорость полюса VA ;
-из конца вектора VA проведём направление VAB до пересечения с
направлением VB .
Расставим стрелки согласно равенству (**).
Спроектируем векторное равенство (**) на две взаимно перпендикулярные оси X и Y.
46
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
На ось X:
0 = −VA cos 45o +VBA cos 45o.
Отсюда VA =VAB . Угловая скорость ωAB :
ωAB = VABBA =
На ось Y:
VBA
VB
VA
B
α
Q |
aB |
|
VA |
= |
200 |
= 2 |
|
рад |
||
|
|
|
|
. |
|||
AB |
100 |
с |
|||||
|
|
|
|
||||
щAB
еAB
α
A
α 
aA
VBy =VA cos 45o +VBA cos 45o = 2VA cos 45o = 2 200 0,707 = 282,8 см/ с.
6. Определяем ускорение точки В, пользуясь мгновенным центром ускорений:
аВ =QB ω2 +ε2 ;
47
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Тангенс угла между отрезком AQ, соединяющим точку А с мгновенным центром ускорений
tgα = εAB =16 = 4;
ωAB2 22
α = 75, 96 o.
Угол α откладывается от оси ускорения точки А по часовой стрелке, то
есть так же, как угловое ускорение |
εAB . |
|
||
Расстояние точки А до мгновенного центра ускорений AQ: |
||||
AQ = |
аA |
= |
2000 |
= 121, 27 см. |
εAB2 + ωAB4 |
162 + 24 |
|||
Для определения расстояния точки В до мгновенного центра ускорений рассмотрим треугольник AВQ:
QAB =90 −α =90o −75,96o =14,04o.
По теореме косинусов:
QB = AB 2 + AQ 2 − 2 AB AQ cos (90O −α ) =
= 1002 +121, 272 −2 100 121, 27 0,97 =34,35 см.
Ускорение точки В определяется из соотношения:
aA = aB
AQ BQ ,откуда
aB = AQaA BQ = 121.272000 34.35 = 566.5 см/ с2 .
Для определения направления аB откладываем угол α оси отрезка QB в
направлении, противоположном направлению εAB , то есть против хода часовой стрелки.
Ответ: |
|
|
рад |
|
||
εAB = 16 рад/ с2 |
, ωАВ = 2 |
, aB = 566.5 см/ с2 . |
||||
|
|
|
||||
с |
||||||
|
|
|
|
|
||
48
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Задача №1
Кривошип ОА = r, вращается в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки О согласно уравнению φ = kt. Ползун А при этом перемещается в наклонной кулисе В, которая может передвигаться поступательно вдоль оси Оx. Угол наклона кулисы к оси Ox равен α.
Составить уравнения абсолютного и относительного движений точки А, а также найти абсолютную, относительную и переносную скорости точки.
Решение
Первый способ.
Абсолютное движение ползуна А – вращение вокруг неподвижного центра О. Относительное движение – прямолинейное движение ползуна вдоль кулисы, определяемое переменным расстоянием О1А = η. Переносное движение
– поступательное перемещение точки А вместе с кулисой. Уравнения абсолютного движения точки А имеют вид
x = r cos kt, y = r sin kt. |
(1) |
|||
С другой стороны, обозначая расстояние ОО1 = хe, имеем: |
||||
|
||||
x = xe +ηcosα, y =ηsinα. |
(2) |
|||
Решая совместно уравнения (1) и |
(2), после несложных |
преобразований |
||
находим: |
|
|
||
η = r |
sin kt |
, |
|
|
sinα |
(3) |
|||
|
|
|||
xe = r cos kt −r sin(kt)ctgα. |
(4) |
|||
49
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Уравнение (3) является уравнением относительного движения точки А. Уравнение (4), с точностью до постоянной величины, является уравнением переносного движения, так как последнее является поступательным.
Определим абсолютную скорость точки А. Проекции скорости
Vx = x& = −rk sin kt,Vy = y& = rk cos kt,
модуль абсолютной скорости
V= Vx2 +Vy2 = rk,
анаправляющие косинусы имеют вид
cos(V , x) = |
x |
= −sin kt, cos(V , y) = |
y |
= cos kt, |
|
||||
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
V |
|
(5) |
Из (5) видно, что абсолютная скорость точки А перпендикулярна к кривошипу ОА.
Проекция относительной скорости точки А на направление О1А равна производной от относительной координаты по времени
& |
|
cos kt |
|
|
Vrη =η |
= rk |
|
, |
|
sinα |
||||
|
|
|
так как относительное движение является прямолинейным. Проекция переносной скорости точки А на ось х
Vex = x&e = −rk sin kt −rk cos(kt)ctgα,
так как переносное движение является поступательным и, следовательно, скорости всех точек кулисы одинаковы.
Второй способ.
Находим величину угловой скорости кривошипа ОА
ω =ϕ& = k.
Величина абсолютной скорости точки А как конца кривошипа, вращающегося вокруг неподвижного центра О,
V = rω = rk.
Направлена эта скорость перпендикулярно к кривошипу. Относительная скорость точки А направлена вдоль прямой О1А. Переносная скорость точки А параллельна оси Ох. Строим параллелограмм скоростей. Откладываем вектор, равный абсолютной скорости точки А. На этом отрезке, как на диагонали, строим параллелограмм скоростей, проводя линии, параллельные относительной и переносной скоростям, величины которых известны. Эти величины определяются как стороны
50