Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 / Решение задач Кинематика

.pdf

Скачиваний:

213

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

947.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Решение tgα =(a, a n )= ωε2

1.Определяем нормальное ускорение точки А:

n	τ			3		м
aA	= aA	ctgα =10	3		=10			.
				3		с	2

2. Определяем нормальное ускорение точки B:

n r

aB = aA

n	м
Ответ: aB =5			.
	с	2

Задача №3

Вал радиуса R=10 см приводится во вращение гирей P, привешенной к

нему на нити. Движение гири выражается уравнением x =100t 2 , где x – расстояние гири от места схода нити с поверхностью вала, выраженное в сантиметрах, t – время в секундах. Определить: угловую скорость ω и угловое ускорение ε вала, а также полное ускорение точки на поверхности вала момент времени t.

Решение

1.Определяем уравнение вращения вала:

ϕ= Rx =100t10 2 =10t2 (рад).

2.Определяем угловую скорость и угловое ускорение вращающегося

вала:	dϕ
ω =		=ϕ =20t	рад
				;
	dt	&
			с

ε =ω& =ϕ&&= 20 рсад2 .

Угловая скорость и угловое ускорение направлены в сторону возрастания угла ϕ.

3.Определяем скорость точки М на ободе вала:

VM =ω R = 20t 10 = 200t cсм .

4.Определяем ускорение точки М на ободе вала:

вр

=εR = 20

10 = 200

cм

;

=ω

R =(20t )

= 4000t

cм

;

a = (a

)

+(a

)

(4000t

)

вр

= 200

200

400t

cм

Ответ: ω = 20t рад/с, ε = 20 рад/с2,

a = 200

1+400t

Задача №4 (12.18)

Найти траекторию точки М шатуна кривошипно-ползунного механизма, если r = L = 60см, MB = 13 L , ϕ =4πt (t- в секундах), а также определить

скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда

ϕ = 0 .

Решение

1. Задаём движение точки координатным способом:

x = r +	2	L cosϕ =	60 +	2	60 cos 4πt = 100 cos 4πt;
	3			3

y= 13 Lsinϕ = 13 60sin 4πt = 20sin 4πt.

2.Для определения уравнения траектории точки исключим параметр t из уравнений движения:

cos 4πt =		x	;	sin 4πt =	y	.
	100				20

Возводим в квадрат обе части уравнений и складываем:

x2 2 + y22 = 1.

100 20

Получаем центральный эллипс с полуосями 100 см и 20 см.

3. Определяем скорость точки по её проекциям на координатные оси:

VX = x& = −100 4π sin 4πt = −400π sin 4πt,

VY = y& = 20 4π cos 4πt = 80π cos 4πt.

При ϕ = 0 время t = 0. Проекции скорости принимают вид:

= 0

см

;

= 80π

см .

Скорость точки при t0

= 0:

= V

+V 2

0 + (80π)2 = 80π

см

4. Определяем ускорение точки по ее проекциям на координатные оси: aX =V&X = &&x = −400π 4π cos 4πt = −1600π 2 cos 4πt;

= −80π

4π sin 4πt = −320π

sin 4πt.

=Vy

= y

В момент времени t0 = 0 проекции ускорения на координатные оси

принимают вид:

= 0

см

= −1600π2

см

;

Y 0

Ускорение точки при t0 = 0 :

a =

+a2

= (−1600π2 )2

+02

=1600π2 см .

X 0

с2

5. Определяем радиус кривизны траектории точки в начальный момент

времени t0 =0 :

V 2

отсюда

ρ =

V 2

При t0 = 0 :

VX 0 aX 0 +Vyo ayo

= 0;

τ 0

−a2

= a .

τ 0

Радиус кривизны траектории в начальный момент времени t0 = 0 :

ρ0

V02

(80π )2

= 4(см).

1600π2

6. Определяем начальное положение точки М при t0 = 0 :

=100

(см) ;

y0 = 0.

На чертеже показываются проекции скорости и ускорения точки при t0 = 0 .

см

= 4(см).

Ответ: Эллипс

=1,

=80π

, a0

=1600π

, ρ0

100

ПОЛИМЕРОВ				Задача№5 (12.22)
ПОЛИМЕРОВ		Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям x=300t,
РАСТИТЕЛЬНЫХ	y=400t-5t2 (t – в секундах,		x,y –в метрах).
	Найти:
	1)скорость и ускорение в начальный момент;
	2)высоту и дальность обстрела;
	3)радиус кривизны траектории в начальный и наивысшей точках;
УНИВЕРСИТЕТА	4)уравнение траектории.
						Решение
	Определяем уравнение траектории движения снаряда, исключая из заданных
	уравнений параметр время t:			x
ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО		t =		x	;	y = 400	x	−5	x2 2
			300				300		300
		y = 4 x −		5	2	x2 – уравнение параболы.
		3		300
	Определяем координаты точек параболы в различные моменты времени:
ГОСУДАРСТВЕННОГО
	t	0		1			2		3	80
	x	0		300			600		900	2400
	y	0		395			780		1155	0
	Y
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО		V0
ЦЕНТР						V
ЦЕНТР
ИНФОРМАЦИОННЫЙ				h				M
				h
	O			L						X
НАУЧНО-						35
						35

Определяем скорость снаряда по проекциям на оси координат:

V =

300

см

= dy = 400 −10t

;

В начальный момент времени t0

= 0:

VX 0

= 300

Vy0 = 400

;

Следовательно:

V =

V 2

+V 2

3002 + 4002

= 500

X 0

Ускорение точки также определяем по проекциям на оси координат:

	d 2 x		= 0 ; ay =	d 2 y		= −10	м
aX =					2				.
	dt	2		dt			с	2

Ускорение постоянно и в любой момент времени его модуль:


a = a	=	a2	+ a2	= 10		м
a = a	=	a2	+ a2	= 10			2	.
0		X	y				2	.
					с

Дальность полёта определяем из конечных условий: x=L; y=0, которые подставляем в уравнение траектории:

			0 =	4 L −	5		L2	,
			0 =	4 L −	300	2	L2	,
		3002 4		3	300
отсюда	L =	3002 4	= 2.4 104 м = 24(км).
		5 3

Так как вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории, то высоту траектории h определяем из условия, что в наивысшей точке скорость направлена горизонтально:

V = VX ; Vy = y& = 0 .

Приравнивая Vy к нулю, получаем t1 = 40c - время достижения снарядом наивысшей точки траектории. В этот момент времени высота

h = y(t1 ) = 400 40 − 5 402 = 8000( м) = 8

(км).

Определяем касательное ускорение точки:

= dv = xx

+ yy

= yy

&&&

так как

= 0 .

Таким образом:

(400 −10t) (−10)

a =

3002 +(400 −10t)2

Нормальное ускорение точки определяется из зависимости

a =

a2 + a2

, откуда

a =

a2 −a2 =

102 −

(400 −10t )2 102

3000

3002 +(400 −10t )2

В начальный момент времени t0

=0 :

3000

= 6

500

В момент времени t1 = 40 c :

3000

an1

=10

300

Радиус кривизны траектории определяется из формулы для нормального ускорения:

an = Vρ2 ; откуда ρ = V 2 . an

В момент времени t0 =0 :

ρ0 = V02 = 5002 = 4,167 104 (м)= 41, 67 (км). an1 6

При t = t1 = 40 c (в наивысшей точке траектории):

V 2

3002

(м)=9

(км).

ρ =

=9 10

an1

a =10

h =8

(км), L = 24(км), ρ0 = 41,67 (км),

Ответ: V0

=500

ρ1 =9(км).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ

Задача №1

Зубчатая передача приводится в движение грузом 1, подвешенным к колесу 2. На одной оси с колесом 2 укреплено колесо 3, которое сцепляется с колесом 4.

Определить скорость и ускорение точки М на ободе колеса 4 в момент времени t=1с. Груз движется по закону:

x = 5t2 +10t (см). Радиусы колёс соответственно: r2 = 10(см), r3 = 6(см) ,

r4 = 8(см) .

Решение

Скорость и ускорение груза 1 будут совпадать со скоростью и вращательным ускорением точки К на ободе колеса 2, с которого сходит нить, к которой подвешен груз:

		&		aвр = a = &&x = 10		см
V = V = x = 10t +10			;	k	1	с
k	1		;			с	.

Так как колёса 2 и 3 имеют одну ось вращения, то угловая скорость и угловое ускорение у них одинаковые:


ω2−3	=	Vk	=		10t +10				= t +1(с-1 );

		r2				10
	ε2−3 =			akвр		=	10	= 1(с-2 ).
				r2
						10

Точка N – точка соприкосновения колёс 3 и 4. Скорость этой точки и вращательное ускорение для колес 3 и 4 будут одинаковые:

VN = ω2−3 r3 = ω4 r4 ;

отсюда

ω4 =

2−3

(t +1)

(t +1) 3

−1

);

aNвр = ε2−3 r3 = ε4 r4 ;

ε4	= ε2−3 r3 =			1 6 =		3	(c−2 ).
Скорость точки M:			r4	8		4
Скорость точки M:			(t +1) 3
VM = ω4	r4	=	(t +1) 3		8 = 6t + 6			см	;
VM = ω4	r4	=	4		8 = 6t + 6				;
			4					с

в момент t=1c:

VM 1 = 6 + 6 =12 cм .с

Ускорение точки М:

aвр = ε

8 = 6

см

;

с2

aц

= ω2

r =

(t +1) 3

8 =

9(t +1)2

см

;

с2

в момент t=1c:

9 22

= 18

см

aM 1 =

;

с2

вр

см

aM =

(aМ )

+ (aM )

+18

= 18.97

с2

Ответ:

cм

см

VM = 12

, aM

= 18.97

с2

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Задача №1 (16.16)

Найти скорость ползуна В нецентрального кривошипного механизма при двух горизонтальных и двух вертикальных положениях кривошипа,

вращающегося вокруг вала О с угловой скоростью ω = 1.5 радс , если ОА = 40 см, АВ = 200 см, ОС = 20 см.

Решение

1. Горизонтальные положения кривошипа ОА.

O	VA
O			P
ω			P
ω	A		щAB
C		VB	B
C
A	ω	O	P
	VA	щAB
	VA
			VB
			B

Кривошипный механизм совершает плоское движение, непоступательное, следовательно, в каждый момент времени существует единственная точка, скорость которой равна 0.

МЦС (точка Р) находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных из точки А и из точки В к их скоростям. Точка А совершает вращательное движение вместе с кривошипом, значит, ее скорость направлена перпендикулярно к радиусу вращения ОА. Ползун В движется поступательно горизонтально, его скорость также направлена горизонтально.

Скорости точек А и В равны произведению угловой скорости ωАВ на

расстояние от этих точек до

МЦС. Направление

угловой скорости

ωАВ

определяется направлением VA .

Скорость точки А :

VA = ω ОА = ωАВ АР.

Отсюда

(

)

ωАВ = ω ОА =

ОА

1.5 40

= 0.3015

(c−1 ).

( АВ)2 −(BP)2

2002 −202

199

АР

39600

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1

#
13.02.20151.72 Mб117Задачи по ТерМеху.pdf
#
13.02.2015582.14 Кб84Решение задач Динамика.pdf
#
13.02.2015947.28 Кб213Решение задач Кинематика.pdf
#
13.02.2015838.03 Кб152Решение задач Статика.pdf