- •Раздел 2
- •2.2.Понятие о размерности, единицы измерения. Структура функциональных связей между физическими величинами
- •2.3. П-теорема Букингама 1
- •2.4. Примеры приложения теории размерности к решению конкретных задач.
- •2.4.1. Задача нестационарной теплопроводности.
- •2.4.2. Движение вязкой жидкости в прямолинейной трубе.
- •2.4.3. Теплоотдача тела в потоке жидкости
- •2.4 4. Заполнение сосуда через подводящую трубу
- •2.4.5. Распространение взрывной волны от атомного взрыва.
- •2.4.6. Использование дополнения Хантли
- •2.4.7. Вывод уравнения Нуссельта для конденсации неподвижного пара на вертикальной поверхности.
- •2.5. Модели различного уровня, их связь с реальными законами природы и примеры использования.
- •1.5.1. Модели с.С.Кутателадзе и н.Зубера для кризиса кипения в большом объеме
- •1.5.2. Модель б.С.Фокина для определения границ режимов течения
- •I.7.Метод подобия, базирующийся на анализе уравнений процесса, приведенных к безразмерному виду
- •Запишем теперь уравнения для теплового пограничного слоя
- •1.8.Турбулентность и аналогия Рейнольдса
- •1.9. Подобные (автомодельные) решения уравнений теплогидродинамики
- •1.9.1. Использование метода подобия для решения нестационарного уравнения теплопроводности
- •2.9.2. Автомодельное решение для пограничного слоя на бесконечной пластине.
- •2.10. Термодинамическое подобие и закон соответственных состояний
- •2.11.Использование термодинамического подобия для описания процессов, протекающих на линии насыщения.
- •2.12. Использование термодинамического подобия для описания теплообмена при наличии фазового перехода (кипение и конденсация)
- •2.12.1 Теплоотдача при пузырьковом кипении
- •2.12.2 Теплоотдача при конденсации
- •2.13. Проблемы моделирования теплогидравлических процессов при их экспериментальном исследовании
2.4 4. Заполнение сосуда через подводящую трубу
В 1909-1911 гг. были опубликованы результаты серии экспериментов, проведенных Э.Бозе и др. Измерялось время заполнения сосуда данного объема Q через подводящую трубку и перепад давления Р на концах трубки при стационарном протекании через нее различных жидкостей с существенно различными физическими свойствами. Т.Карман, один из основоположников современной гидродинамики, продемонстрировал возможность обработки этих данных с помощью анализа размерностей.
Перепад давления на трубке Р должен зависеть от времени наполнения сосуда , объема сосуда Q, коэффициента вязкости жидкости и ее плотности . То есть
Р = f (, Q, , ) (15)
Число определяющих переменных n в данном случае равно 4. Их размерности в данном случае таковы
[P] = кг м-1 с-2; [Q] = м3 ; [] = c ; [] = кг м-3
Поскольку число независимых размерностей k равно 3, то согласно П-теореме безразмерный параметр, содержащий Р, является функцией одного безразмерного параметра П1, содержащего определяющие переменные. Выберем их следующим образом
П = P-1; П1 = Q2/3
Результат должен выражаться в форме
П = Ф (П1) (16)
Обобщение опытных данных в форме 16привело к тому, что опытные точки для всех жидкостей легли на одну общую кривую. Вывод состоит в том, что заранее проведенный анализ размерностей позволил бы во много раз сократить необходимый объем экспериментов.
2.4.5. Распространение взрывной волны от атомного взрыва.
При атомном взрыве в области, настолько малой, что ее можно считать точкой, практически мгновенно выделяется значительная энергия Е. От центра взрыва распространяется мощная ударная волна, давление за которой вначале составляет сотни тысяч атмосфер. По сравнению с ним начальным давлением воздуха можно пренебречь. Тогда можно считать, что радиус фронта ударной волны rf через промежуток времени t после взрыва зависит от Е, t и начальной плотности газа 0. То есть
rf = rf ( E, t, 0) (17)
Очевидно, что n = 3 и число независимых размерностей k тоже равно трем. Поскольку n – k = 0, то безразмерный радиус фронта волны оказыва-ется константой.
П = rf ( Et2/0)-1/5 = C или rf = С( Et2/0)1/5 (18)
Полученная формула показывает, что если измеряется радиус ударной вол-ны, то в логарифмических координатах 2/5 lg rf = lg t экспериментальные данные должны ложиться на прямую
2,5 lg rf = 2,5 lg C E1/5 0-1/5 + lg t (19)
имеющую наклон, равный единице.
Как показывают более детальные расчеты, коэффициент С близок к единице. Это в свое время дало возможность определить энергию взрыва по фильму об американских ядерных испытаниях. Публикация этих данных вызвала скандал, поскольку величина Е считалась секретной. В то же время сам фильм секретным не был.