Фарковка
.pdfб) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения: yîí yîî y÷í .
1. Найдем общее решение однородного уравнения y y 0. Для этого составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного
дифференциального уравнения: |
k 2 1 0.Найдем корни |
этого квадратного |
|||||||
уравнения: |
k i. Так |
как в |
случае D < 0 общее решение линейного |
||||||
однородного |
дифференциального |
второго |
|
порядка |
с |
постоянными |
|||
коэффициентами имеет |
вид y |
îî |
e x (C sin x C |
2 |
cos x) , |
то |
общее решение |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
исходного уравнения будет иметь вид: yîî C1 sin x C2 cos x( 0, 1) . 2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения
y y sin 2x . Так как f(x) = |
sin 2x , |
то частное |
решение данного |
|||||||
дифференциального уравнения имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
0, |
|
2, t |
|
0, l |
|
0) . |
|
|
֒ = y = Asin 2x B cos 2x ( |
|
|
|
Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
y 2Acos 2x 2B sin 2x;
y 4Asin 2x 4B cos 2x;
4Asin 2x 4B cos 2x Asin 2x B cos 2x sin 2x;
Приведя подобные слагаемые в левой части уравнения, получим:
3Asin 2x 3B cos 2x sin 2x .
Откуда B 0; |
A |
1 |
. |
|
|||
|
|
3 |
Тогда y÷í = y = 13 sin 2x .
3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид: y C1 sin x C2 cos x 13 sin 2x.
в) Общее решение данного линейного постоянными коэффициентами найдем, соответствующего однородного уравнения неоднородного уравнения: yîí yîî y÷í .
1. Найдем общее решение однородного
уравнения |
второго |
порядка с |
как сумму |
общего |
решения |
и частного |
решения |
исходного |
уравнения y y 0. |
Для этого |
составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного
дифференциального |
уравнения: k 2 k 0. Найдем корни |
этого |
квадратного |
|||
уравнения: k1 0,k2 |
1. Так как в случае D > |
0 |
общее решение линейного |
|||
однородного дифференциального |
второго |
|
порядка |
с |
постоянными |
51
коэффициентами имеет вид y |
îî |
C ek1x C |
ek2 x , |
то общее решение исходного |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
уравнения будет иметь вид: y |
îî |
C e0 x |
C |
e1 x C C |
ex . |
|||
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения
y y x 2 . |
Так как f(x) = |
x 2 , |
то |
частное |
|
решение данного |
||||||||||||||
дифференциального уравнения имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
֒ = y = (Ax |
|
1 |
|
Ax |
2 |
Bx |
|
0, |
|
0, t |
|
1, l |
|
1) . |
||||
|
|
|
B)x |
|
|
( |
|
|
|
|
||||||||||
Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных |
||||||||||||||||||||
коэффициентов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y 2Ax B; |
|
|
y 2A. Подставляя в исходное уравнение y/ , y// |
, получаем: |
||||||||||||||||
2A – 2Ax – B = x + 2. Приравнивая коэффициенты при |
x1 и |
x0 , получим: |
||||||||||||||||||
x1 : |
– 2Ax = |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 : |
2A – B = |
2. |
Откуда находим: A = |
1 |
, B = – 3. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда частное решение имеет вид: y÷í = y 12 x2 3x.
3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:
y |
|
y C C |
|
e x |
1 |
x2 |
3x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
îí |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
неоднородного уравнения: |
yîí |
|
yîî |
|
y֒ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. Найдем общее решение однородного уравнения y 7 y 6y 0. Для этого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциального |
уравнения: |
|
k 2 7k 6 0. |
|
Найдем |
|
корни этого |
|||||||||||||||||||||||||||
квадратного уравнения: k1 1,k2 6. |
Так как в случае D > 0 общее решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
линейного однородного дифференциального |
второго порядка с постоянными |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициентами имеет вид y |
îî |
|
C ek1x C |
ek2 x , |
то общее решение исходного |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения будет иметь вид: y |
îî |
C ex |
C |
e6 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 7 y 6y (x 2)ex . Так как f(x) = |
(x 2)ex , то частное решение данного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
y |
֒ = y = e |
x |
(Ax |
|
|
1 |
|
|
e |
x |
(Ax |
2 |
|
Bx) |
|
1, |
|
0, t |
|
1, l |
|
1) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
B)x |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициентов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y ex (Ax 2 Bx) ex (2Ax B); |
|
|
|
|
y ex ( Ax 2 Bx) ex (2Ax B) ex (2Ax B) 2Ae x |
|||||||||||||||||||||||||||||
= ex ( Ax2 Bx 4Ax 2A 2B) . Подставляя в исходное уравнение |
|
y, y/ , y// , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем: |
ex ( Ax2 Bx 4Ax 2A 2B) - 7 |
(ex ( Ax2 Bx) ex (2Ax B)) + |
52
+ 6 ex ( Ax2 Bx) = (x 2)ex . Вынесем e x в левой части уравнения за скобки,
разделим обе части уравнения на e x и уравняем коэффициенты при x2 , x1 и
x0 . Тогда получим: x2 : A - 7A + 6A = 0,
x1 : B + 4A – 7B – 14A + 6B = 1, x0 : 2A + 2B – 7B = – 2.
После упрощений получаем: x2 : 0 = 0,
x1 : – 10A = 1, откуда A = - 0,1.
x0 : 2A – 5B = – 2. Подставляя вместо A = - 0,1, получим B = 0,36. Таким образом, частное решение имеет вид: y÷í = y ex ( 0,1x2 0,36x).
3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид: y C1ex C2e6 x ex ( 0,1x2 0,36x).
53
8. Тема 7. Ряды.
Краткие теоретические сведения
Выражение un u1 u2 u3 ... un .... называется рядом.
n 1
Слагаемые u1, u2 , u3 ,...un ... называются членами ряда, un - общий член ряда.
Ряд называется числовым, если все его члены являются числами. Ряд называется функциональным, если все его члены – функции.
Сумма конечного числа первых n членов ряда называется n–й частичной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
суммой ряда: Sn u1 u2 ...un ui . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
существует |
|
конечный |
предел |
S lim Sn |
последовательности |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частичных |
|
сумм |
ряда, |
то ряд |
un |
называется сходящимся, |
а число S |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
называется суммой ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
lim Sn |
не |
существует |
или |
равен бесконечности, |
то |
ряд |
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un называется расходящимся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимый |
признак |
сходимости |
числового |
ряда: |
Если |
ряд |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un сходится, то |
lim un |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие |
(достаточный |
признак расходимости числового |
ряда): |
Если |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim un 0 |
или не существует, |
то числовой ряд un расходится. |
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ряд 1 |
|
|
... |
... |
|
называется гармоническим. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
n |
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
Теорема: Гармонический ряд расходится.
Ряд un называется знакоположительным (неотрицательным), если для
n 1
любого натурального n un 0 .
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов:
Первый признак сравнения: Пусть даны два знакоположительных ряда un
|
n 1 |
|
|
и vn , и пусть для любого натурального n |
выполняется условие: un vn . |
n 1 |
|
54
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, если ряд vn |
- сходится, |
то и ряд un сходится; а если ряд |
un |
|||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится, то и ряд vn |
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй |
признак |
|
сравнения |
(предельный): |
Пусть |
даны |
|
|
два |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un |
|
|
|
|||
знакоположительных |
ряда |
|
un |
и vn |
, и пусть |
существует lim |
|
A , |
||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
n vn |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 0, A , |
тогда |
оба ряда |
un |
и |
vn |
одновременно |
сходятся |
или |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
расходятся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Признак |
Даламбера: |
|
Пусть |
дан |
знакоположительный |
ряд |
un |
и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
un 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
существует предел lim |
|
l . |
Тогда ряд |
un |
будет сходиться при l |
< 1 |
и |
|||||||||||||
un |
||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
расходиться при l > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Радикальный признак Коши: Пусть дан знакоположительный ряд |
un |
и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l . |
|
un |
|
|
|
|||||||||||
существует предел lim |
|
un |
|
Тогда ряд |
будет сходиться при l |
< 1 |
и |
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
расходиться при l > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегральный признак Коши: Если (x) - непрерывная положительная
функция, |
убывающая |
на |
промежутке |
[1; |
+ ), |
то |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) (2) ... (n) ... (n) |
и несобственный |
интеграл |
|
(x)dx |
|||
|
|
n 1 |
|
|
|
1 |
|
одновременно сходятся или расходятся. |
|
|
|
|
|||
Степенным рядом называется функциональный ряд вида |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an x x0 |
n a0 a1 (x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n ... , где a0 , a1,...an ,... и x0 |
n 0
- действительные числа.
Множество значений переменной x, при которых соответствующий числовой ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Область сходимости степенного ряда находится по следующему плану:
1. Находится радиус сходимости степенного ряда по формулам:
R lim |
an |
|
|
R |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
an 1 |
|
или |
|
|
|
. |
||||
n |
|
|
lim n |
an |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2. Записывается интервал сходимости степенного ряда: ( x0 - R; x0 + R).
55
3.Исследуется сходимость соответствующего числового ряда при значениях x = x0 - R; x = x0 + R.
4.С учетом проведенного исследования записывается область сходимости исходного степенного ряда.
Задания к расчетно-графической работе
Задание 7.1. Исследовать сходимость ряда.
1. |
а) |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n ; |
б) n3 |
|
|
1 ; |
|
6. |
а) |
nn! |
; |
|
|
|
|
|
|
б) n 1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 3 |
|
|
|
|
|
n 1 n 1 |
|
|
|
n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
n2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
в) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
n |
2 |
1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 1 |
n |
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
а) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ln n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
n ln n |
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3n |
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
; |
г) |
. |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
(n |
1) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4n |
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
n 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
а) |
5 |
|
|
nn! ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
22n ; |
|
8. |
а) |
nn! |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) n2 5 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
n |
|
|
|
3 |
; |
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
в) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
4 |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
n 5 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
2n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
; |
|
|
г) |
n ln |
6 |
|
. |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
n |
|
|
|
n 1 6n 4 |
|
|
|
|
n 1 2 n 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ln 2 |
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
3n |
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 n ln 4 |
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
г) |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n 1 |
3n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5n |
|
2 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 7.2. Найти область сходимости степенного ряда.
1. |
|
x 7 |
n |
6. |
|
x 10 |
n |
||
|
а) |
|
|
; |
|
а) |
|
n ; |
|
|
n! |
|
|
2 |
|||||
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) n! x 9 n . |
|
б) n! x 4 n . |
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
56
2. |
|
|
|
|
|
|
|
x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а) |
|
|
|
|
|
n |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
б) n! x 2 n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) n! x 9 n . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
б) n! x 4 n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) n! x 6 n . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
|
|
|
x 4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 10 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
б) n! x 6 n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) n! x 7 n . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
б) n! x 10 n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) n! x 10 n . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример выполнения заданий по теме 7 |
|
|||||||||||||||||||||||||
Задание 7.1. |
|
Исследовать сходимость ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||
а) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
в) |
|
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
n |
|
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||||||||||
n 1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
2n |
1 |
|
|
|
|
|
е) |
|
ж) |
|
|
1 |
|
|
|
|
з) |
n 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
3 |
|||||||||||||||||||
3n |
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
n ln |
|
n |
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
а) Так как |
|
1 |
|
1 |
для любого натурального n, а ряд |
сходится, как ряд |
|||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
n2n |
|
2n |
|
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
геометрической прогрессии с q = |
|
< 1, то и ряд |
|
тоже сходится по |
|||||||||||||
2 |
|
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n2 |
|
|
|
|
|
||
первому признаку сходимости знакоположительных рядов. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
б) При n > 1 |
ln n < n, поэтому |
1 |
|
|
1 |
. Гармонический ряд |
|
1 |
расходится, |
||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln n |
|
|
|
n |
|
|
|
1 n |
поэтому
первому
n |
|
1 . |
|
2 |
ln n |
|
n |
|
|
по свойствам числовых рядов расходиштся и ряд |
|
1 |
. Тогда по |
|
|||
|
2 n |
|
|
признаку сравнения знакоположительных рядов |
расходится и ряд |
57
в) |
|
|
|
У |
данного |
ряда |
|
|
общий |
|
член |
|
|
un |
n |
; un 1 |
|
n 1 |
. |
|
Найдем |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un 1 |
|
|
(n 1)2n |
|
|
|
|
n 1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
lim |
lim |
|
n |
|
|
|
1 . Тогда по признаку Даламбера ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
2n 1 n |
|
2n |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) Воспользуемся признаком Даламбера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n |
|
|
||||
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
(n 1) |
n 1 |
|
|
(n 1) |
n |
(n |
1) |
|
|
(n 1) |
n |
|
. Тогда lim |
un 1 |
lim |
|
|
|
n! |
|
|
|||||||||||||||||
u |
n |
|
|
, |
u |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
n!(n 1) |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
n un |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n |
n 1 |
n |
||
= lim |
|
lim |
|
|
|
nn |
|
|
|||
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
1 n |
|
|
lim 1 |
|
|
|
e > 1, то есть по признаку Даламбера |
|
||||
n |
|
n |
|
ряд расходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
д) У данного ряда |
|
u |
n |
= |
|
|
|
|
|
|
. Применим радикальный признак Коши и |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
lim |
lim |
n2 |
|
|
1. Значит, исходный ряд сходится. |
||||||||||||||||||
найдем lim n un |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
n 3n2 |
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
е) Применим необходимый признак сходимости: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim un |
lim 1 |
|
|
e 0 , поэтому данный ряд расходится. |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
ж) Исследуем сходимость ряда |
|
|
|
|
|
|
с помощью интегрального признака |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n ln |
3 |
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
1 |
|
|
Коши. Рассмотрим функцию (x) |
|
, |
x ln3 x |
||
непрерывной, положительной и убывающей. |
|
Исследуем сходимость несобственного интеграла Найдем сначала
b |
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
ln b |
|
|
|
t ln x, dt |
,t |
ln 2,t |
|
ln b |
|
|
|||||||
x ln 3 x |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
= |
(ln b) 2 |
|
|
(ln 2) |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 ln 2 b |
2 ln 2 2 |
|
|
|
|
2
dt
t 3
при |
x 2 |
она |
|
является |
||||
dx |
|
b |
|
dx |
|
|
||
|
lim |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
x ln |
3 |
x |
x ln |
3 |
|
|||
|
2 |
|
x |
|||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
t 3dt t 2 |
|lnln b2 |
|||||||
ln b |
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
2 |
|
b |
dx |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
Вычислим lim |
|
lim( |
|
|
|
) 0 |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x ln |
3 |
x |
2ln |
2 |
|
|
2 |
2 |
2ln |
2 |
|
|
2 |
2 |
||||||
2 |
|
b |
|
b 2ln |
|
|
|
2 2ln |
|
|
||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, несобственный интеграл |
|
|
|
сходится, значит и ряд |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x ln 3 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 2 |
n ln |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
з) |
|
|
У данного ряда |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
общий член ряда |
u |
|
|
|
|
n2 |
1 |
. |
|
Составим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вспомогательный |
ряд |
|
с vn |
|
n |
|
|
. |
|
Ряд |
1 |
|
|
|
является рядом |
|
Дирихле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
, который при |
= 3 > 1 сходится. Найдем |
lim |
|
|
|
n |
|
lim |
|
|
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n vn |
|
|
|
|
3 n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n5 n3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n5 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
lim |
|
|
|
n5 |
|
lim |
|
n2 |
|
|
|
= 1. Так как 1 0 |
|
и |
1 , то по второму |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
5 3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
n n5 3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
(предельному) признаку сходимости рядов ряды |
|
|
n |
|
и |
|
|
|
|
|
ведут |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
3 |
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
1 |
|
n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||
себя |
одинаково, |
а так как |
ряд |
|
|
|
сходится, |
то |
|
и |
ряд |
|
|
также |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
сходится.
Задание 7.2.
а) n! x 3 n ;
n 1
Найти область сходимости степенного ряда.
|
x 8 |
|
|
x 5 |
n |
||
|
n |
|
|
|
|
||
б) |
|
; |
в) |
|
n . |
||
n! |
3 |
||||||
n 1 |
|
n 1 |
|
|
Решение.
а) Радиус сходимости данного степенного ряда R найдем по формуле
|
|
R = lim |
|
an |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
a |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как a |
= n!, a = (n +1)!, то R = lim |
|
|
n! |
|
lim |
n! |
|
|
lim |
1 |
|
= 0. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(n 1)! |
|
n! |
|
|
|||||||||||||
n |
n 1 |
n |
|
n (n 1) |
n n 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому область сходимости данного степенного ряда будет состоять из одного числа: x {-3}.
б) Так как |
|
a |
|
= |
1 |
|
, |
a |
|
= |
1 |
|
, то R = lim |
an |
|
|
= lim |
|
1 |
|
: |
1 |
|
|
|||
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|||||||||||||
|
|
|
(n 1)! |
a |
|
|
|
n! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||
(n 1)! |
|
= lim(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
= . Поэтому |
область сходимости |
степенного ряда |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
n n! |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет множество всех действительных чисел: x (- : + ).
59
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
в) 1. |
У данного степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
a n |
= |
|
|
|
|
|
, a n 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
3 |
n |
|
|
|
3 |
n |
3 |
n 1 |
3 |
n |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найдем |
радиус |
сходимости |
данного |
степенного |
ряда: |
|
|
R |
= |
|
lim |
|
an |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
1 |
|
: |
|
1 |
|
|
lim |
3n 3 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3n |
3n 3 |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
|
|
|
|
Найдем |
|
интервал |
сходимости |
|
|
данного |
|
|
|
степенного |
|
|
ряда: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 5 |
|
|
3 3 x 5 3 3 5 x 3 5 2 x 8 . |
|
|
|
|
|
Таким |
|
|
|
образом, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интервал сходимости данного ряда (2; 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 5 n |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) При |
x = 8 получим |
числовой ряд |
|
|
|
|
n |
= |
|
|
|
|
|
= 1 . Так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
3 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim un lim1 |
= |
1 0, то по необходимому признаку сходимости числовых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рядов получившийся числовой ряд расходится, поэтому число x = 8 |
|
не входит в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
область сходимости степенного ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 n |
|
|
|
|
( 3)n |
|
|
|
|
( 1)n 3n |
|
|||||||||||||||||
б) При |
x |
= |
2 получим числовой ряд |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
n |
|
3 |
n |
|
3 |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim( 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ( 1)n . Так как lim un |
0 (данный передел не существует), то по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
необходимому признаку сходимости числовых рядов получившийся числовой ряд расходится, поэтому число x = 2 не входит в область сходимости степенного ряда.
4. Таким образом, область сходимости данного степенного ряда
60