Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

К р ТВ и МС ИЭиТ, 3 курс 2014, 140400

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
364.57 Кб
Скачать

Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики

Вопросы к экзамену по математике

для студентов 3 курса ИЭиТ, 140400, заочной формы обучения

1.Опыт и событие. Классификация событий. Операции над событиями.

2.Основные формулы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания).

3.Классическое, статистическое (относительная частота наступления события) и гео-

метрическое определения вероятности.

4.Пространство элементарных событий. Аксиоматическое определение вероятности.

5.Теоремы сложения для совместных и несовместных событий.

6.Зависимые и независимые события. Теорема умножения для зависимых и независи-

мых событий. Вероятность наступления только одного события. Вероятность насту-

пления хотя бы одного события.

7.Формула полной вероятности.

8.Формулы Байеса.

9.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

10.Повторные независимые испытания. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

11.Повторные независимые испытания. Теорема Пуассона.

12.Дискретные случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины.

13.Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной случай-

ной величины. Ее свойства.

14. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения непрерывной слу-

чайной величины. Ее свойства.

15. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Свой-

ства математического ожидания.

16. Дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства дисперсии.

Среднеквадратическое отклонение и его свойства.

17. Теоретические моменты случайных величин. Связь центральных и начальных мо-

ментов. Коэффициент асимметрия и коэффициент эксцесса.

18.Биномиальное распределение. Закон распределения. Числовые характеристики.

19.Пуассоновское распределение. Закон распределения. Числовые характеристики.

20.Геометрическое распределение. Закон распределения. Числовые характеристики.

21. Равномерное распределение. Плотность распределения и функция распределения.

Числовые характеристики равномерного распределения.

22. Показательное распределение. Плотность распределения и функция распределения.

Числовые характеристики показательного распределения.

23.Нормальное распределение. Плотность распределения. Числовые характеристики.

24.Двумерные случайные величины: закон распределения двумерной случайной вели-

чины, независимость случайных величин. Числовые характеристики меры связи случайных величин: ковариация, коэффициент корреляции.

25. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Маркова. Теорема Чебыше-

ва и устойчивость средних. Теорема Бернулли и устойчивость относительных час-

тот.

26.Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд.

27.Полигон. Гистограмма. Полигон накопленных относительных частот (кумулята).

Эмпирическая функция распределения.

28. Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности: средняя вы-

борочная, дисперсия выборочная, S 2 и их свойства: несмещенность, состоятель-

ность, эффективность.

29.Интервальные оценки параметров распределения. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал.

30.Проверка статистических гипотез. Критерии согласия (критерий Пирсона).

31.Выборочное уравнение регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным данным (методом наименьших квадратов).

32.Вычисление коэффициента корреляции по выборочным данным. Оценка тесноты зависимости изучаемых явлений.

Составил: И.Н. Попов

2

Контрольная работа

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Задание 1.

1.На 5 карточках написано по одной цифре из набора от 1 до 5. Выбираются одна за другой две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке боль-

ше, чем на первой?

2.В одном ящике 6 белых и 4 черных шарика, в другом – 7 белых и 3 черных. Из каж-

дого ящика вынимается по одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся белыми?

3.Из группы студентов, в которой 15 юношей и 5 девушек, выбирается команда в со-

ставе 4 человек. Какова вероятность того, что в составе этой команды окажутся двое юношей и две девушки?

4.В одном ящике 8 белых и 5 черных шарика, в другом – 5 белых и 3 черных. Из каж-

дого ящика вынимается по одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся разных цветов?

5.Из коробки, в которой находилось 4 красных и 7 зеленных карандашей, выпало 4 ка-

рандаша. Найдите вероятность того, что 3 из них окажутся зеленными.

6.Из колоды в 36 карт вытаскивают 7 карт. Какова вероятность того, что среди вы-

бранных карт будет не менее 6 карт черной масти?

7.Бросаются две игральные кости. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы од-

на шестерка.

8.Записано произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?

9.Задумано шестизначное число, у которого цифра 7 встречается 4 раза, а цифра 3 – 2

раза. Какова вероятность угадать число с первого раза?

10.На книжной полке произвольно расставлены 4 различные книги из серии «Фанта-

стика» и 3 различные книги из серии «Приключения». Какова вероятность того, что

все книги из одной и той же серии окажутся рядом?

3

Задание 2.

Вычислите вероятность, где x, y [0;1].

1.P(1 1 y x). x

2.P(x2 y x 1).

3.P( 1 2 y x 1). x

4.P(x3 y x 1).

5.P( x3 1 y x).

6.P( x2 1 y x).

7.P( x2 1 y x3 1).

8.P(x2 y x3 1).

9.P( 1 2 y x3 1). x

10.P(x2 y 1 2).

x

Задание 3

Найти вероятность прохождения тока через цепь, если вероятности исправной работы элементов указаны на схеме. Элементы работают независимо друг от друга.

1.

0,6 0,9 0,8

0,7 0,7

0,7

0,8

2.

0,7 0,8 0,9

0,7 0,9

0,7 0,8

4

3.

0,8

0,7

0,5

 

0,6

 

 

 

0,8

0,9

0,4

4.

0,4 0,7

0,6

0,8 0,9

0,8

0,9

5.

6.

7.

 

0,9

 

0,8

 

 

 

 

0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,7

 

0,6

 

 

 

 

0,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,9

0,6

 

 

 

 

0,8

 

 

0,9

0,7

0,5

0,6

0,4

0,7

 

 

 

0,6

 

 

0,9

0,9

0,8

0,8

 

8.

0,8

0,6 0,7

0,5

 

 

 

0,8

0,9

0,4

9.

 

 

 

 

 

 

 

0,9

 

 

0,7

 

0,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,7 0,9

 

0,7

 

 

 

0,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

10.

0,6 0,9 0,8

0,7 0,7

0,7

0,8

Задание 4

1.Имеется 4 прибора, вероятность каждого из них оказаться исправным, равна 0,4. Найти вероятность исправности: а) трех приборов; б) хотя бы одного прибора; в) не менее трех приборов.

2.Стрелок производит три независимых выстрела с вероятностью попадания в цель 0,2. Найти вероятность: а) двух попаданий; б) трех промахов; в) хотя бы одного попадания; г) не менее двух попаданий.

3.Студенту задано три вопроса, вероятность ответить на каждый из них равна 0,8. Найти вероятность того, что студент ответит: а) на два вопроса; б) не менее чем на два вопроса; в) хотя бы на один вопрос.

4.Число вызовов, поступающих на АТС, подчинено закону Пуассона со средним числом вызовов в минуту равным двум. Найти вероятность того, что в минуту поступит: а) три вызова; б) не менее трех вызовов; в) не более трех вызовов.

5.Автоматическая линия выпускает 1000 деталей в час с вероятностью выпуска бракованной детали 0,002. Найти вероятность изготовления: а) пяти бракованных деталей в час; б) не менее пяти бракованных деталей в час; в) не более пяти бракованных деталей в час.

6.По цели производится три независимых выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. Для поражения цели достаточно двух попаданий. При одном попадании цель практически не поражается. Найти: а) вероятность поражения цели; б) вероятность того, что в цель не будет ни одного попадания.

7.Завод отправил потребителю партию из пятисот изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что потребитель получит менее трех негодных изделий.

8.В мастерской имеется 10 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 8 моторов работает с полной нагрузкой.

9.Вероятность появления бракованной детали, изготовленной станком-автоматом, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей, изготовленных этим станком, будет: а) четыре бракованные детали; б) более четырех бракованных деталей.

10.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится семь независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет не менее двух попаданий.

6

Задание 5

Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения.

1.

 

Xi

 

-1

 

0

 

1

 

2

 

 

Pi

 

0,1

 

0,2

 

P3

 

0,3

 

Найти:

P3; М(Х); D(X); P(x < 2); F(x).

 

2.

 

Xi

 

-20

 

0

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi

 

0,2

 

P2

 

0,5

 

 

 

Найти:

P2; М(Х); D(X); P(0 x ); F(x).

 

3.

 

Xi

 

0

 

1

 

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Pi

 

0,1

 

0,2

 

0,4

 

P4

 

 

Найти:

P4; М(Х); D(X); P(0 x < 3 ); F(x).

 

4.

 

Xi

 

-2

 

x2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi

 

0,2

 

0,3

 

P3

 

 

Известно, что М(Х) = 0,6. Найти: P3; x2; D(X); P(-1 x < 2 ); F(x).

5.

Xi

-10

0

10

20

 

Pi

0,1

P2

0,2

0,5

Найти: P2; М(Х); D(X); P(0 x < 15 ); F(x).

6.

Xi

0

x2

3

 

Pi

0,1

0,4

P3

Известно, что М(Х) = 1,9. Найти: P3; x2; D(X); P(0,5 x < 2,5 ); F(x).

7.

Xi

1

2

x3

 

Pi

0,2

0,4

P3

Известно, что М(Х) = 2,6. Найти: P3; x3; D(X); P(1,3 x ); F(x).

8.

Xi

x2

3

5

 

Pi

P1

0,7

0,2

Известно, что М(Х) = 3,1. Найти: P1; x1; D(X); P( x < 2 ); F(x).

9.

 

Xi

 

2

 

4

 

5

 

 

 

Pi

 

0,1

 

P2

 

0,7

 

 

Найти:

P2; М(Х); D(X); P(1 x < 4 ); F(x).

10.

 

Xi

 

10

 

30

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi

 

P2

 

0,1

 

0,6

 

 

Найти:

P1; М(Х); D(X); P( x < 2 ); F(x).

 

 

 

 

 

 

 

7

 

Задание 6

Обработайте статистические данные 100 независимых измерений некоторой физической величины Х.

а) Составьте статистическое распределение частот выборки Х.

б) Найдите эмпирическую функцию распределения и постройте ее график. в) Постройте полигон и гистограмму относительных частот.

г) Вычислите числовые характеристики:

выборочную среднюю;

выборочную дисперсию;

выборочное среднее квадратическое отклонение;

коэффициенты эксцесса и ассиметрии.

д) Выдвинув гипотезу о нормальном распределении, проверьте ее критерием согласия Пирсона при уровне значимости α = 0,05.

е) Найдите точечные и интервальные оценки параметров распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

1.

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

172

63

173

64

178

73

165

68

165

67

164

60

172

73

170

65

162

55

169

62

164

53

164

60

156

55

177

72

176

65

161

60

169

63

170

66

171

66

167

60

172

66

167

58

171

65

162

65

172

64

166

63

169

62

174

68

171

62

163

65

170

65

171

63

162

56

164

59

169

66

181

68

167

71

167

65

173

77

168

65

165

57

165

67

169

71

170

65

156

53

172

67

170

61

171

62

170

61

164

57

181

68

175

67

166

57

166

67

174

73

167

55

173

66

159

57

157

53

163

58

179

80

176

72

175

59

170

61

167

63

172

65

172

60

159

55

169

62

165

63

160

57

160

62

168

50

168

61

173

77

161

57

173

66

173

77

166

55

161

55

185

82

171

63

165

55

164

70

163

63

177

78

161

51

156

54

175

66

166

57

163

65

159

48

167

61

167

59

164

57

168

66

163

64

164

60

180

76

167

65

8

2.

 

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

 

166

62

157

56

182

76

172

63

184

72

 

174

75

177

72

180

76

170

68

167

63

 

176

81

172

65

171

62

165

67

167

70

 

169

61

160

57

172

64

173

64

171

73

 

176

70

170

58

162

60

169

68

169

67

 

170

67

173

66

179

71

170

60

174

67

 

168

73

172

64

165

61

164

56

174

74

 

163

58

170

75

163

58

167

67

164

65

 

185

82

168

67

177

72

165

72

166

64

 

161

55

172

64

166

57

171

66

175

78

 

163

63

165

68

171

70

165

68

176

78

 

166

57

162

55

171

64

169

56

163

58

 

164

56

162

61

169

62

161

60

166

62

 

161

56

163

65

177

70

165

68

180

69

 

167

61

176

70

162

57

167

60

172

63

 

164

53

176

73

167

57

163

65

163

63

 

169

67

170

76

169

62

184

72

172

67

 

171

76

165

68

166

62

169

71

178

80

 

170

66

169

68

171

69

174

73

168

73

3.

162

60

159

68

167

64

177

68

163

72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

 

173

71

166

55

167

53

175

69

162

55

 

168

65

173

69

165

60

164

57

162

61

 

172

59

172

64

166

62

170

61

172

65

 

181

68

161

66

166

57

170

61

169

65

 

162

65

181

77

170

63

169

71

170

61

 

174

70

156

52

170

58

175

67

171

65

 

167

59

173

69

170

63

173

66

177

67

 

166

57

166

60

170

58

169

62

163

59

 

162

58

166

67

169

58

171

69

171

60

 

164

60

170

74

170

74

188

75

178

73

 

169

63

167

59

162

66

166

57

186

72

 

170

74

162

60

156

55

170

68

169

68

 

162

66

166

60

166

62

169

59

164

57

 

176

70

184

68

180

76

161

66

171

71

 

174

69

168

66

170

63

181

69

163

59

 

169

64

169

68

165

59

160

60

157

53

 

174

70

174

68

167

64

170

66

190

80

 

163

55

169

61

164

65

166

57

167

63

 

167

64

164

66

166

64

161

55

167

61

 

172

67

173

77

170

62

183

73

166

60

9

4.

 

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

 

168

68

179

63

169

73

165

66

168

68

 

166

57

181

69

156

53

176

73

172

72

 

170

65

172

70

169

70

161

62

180

75

 

171

67

171

64

164

59

172

67

173

77

 

168

70

161

59

169

57

157

69

161

58

 

184

72

180

76

178

71

164

60

161

59

 

169

71

170

63

159

54

167

61

171

59

 

169

71

179

69

163

64

166

60

176

67

 

169

71

171

69

182

76

173

72

177

70

 

177

72

173

64

174

75

177

72

169

62

 

164

70

172

64

164

66

160

62

167

65

 

168

62

162

54

167

64

165

57

168

68

 

163

64

166

63

169

64

163

68

170

63

 

164

70

176

81

169

65

178

66

181

68

 

166

55

168

68

180

73

171

65

162

52

 

171

65

172

72

164

66

173

68

169

68

 

174

79

167

59

168

58

178

60

164

60

 

176

65

161

55

188

75

171

65

170

63

 

176

67

171

69

166

57

164

60

165

69

 

158

56

165

61

178

62

167

64

161

55

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

 

162

52

163

57

154

52

165

60

178

66

 

169

68

155

61

160

62

162

58

180

65

 

168

63

182

75

161

59

164

60

165

69

 

187

63

161

51

180

76

178

80

176

70

 

169

58

168

67

171

62

164

59

164

56

 

170

74

164

62

175

67

164

60

169

61

 

160

62

171

66

173

66

164

62

161

57

 

171

60

164

62

161

56

171

76

163

54

 

174

70

167

62

182

76

169

66

171

70

 

170

63

180

69

174

75

173

63

162

65

 

173

66

167

63

169

56

163

58

174

73

 

171

64

170

61

175

67

174

70

167

59

 

161

59

172

72

171

60

172

72

166

57

 

163

54

171

73

167

53

169

64

168

54

 

176

78

169

58

171

63

178

71

174

66

 

171

73

170

74

168

58

162

65

171

73

 

169

67

190

80

167

55

169

62

172

67

 

173

68

156

55

176

67

168

61

163

65

 

174

65

168

59

163

63

165

56

170

62

 

165

61

176

75

178

69

172

70

163

54

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.