![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Северный (Арктический) федеральный университет Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Электродинамика.
- •Архангельск
- •Основные законы и формулы
- •1. Кинематика движения материальной точки
- •2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
- •3. Динамика вращательного движения твердого тела
- •3.9. Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz
- •Примеры решения задач
- •4. Молекулярная физика и термодинамика
- •5. Электростатика
- •6. Постоянный ток
- •7. Магнитное поле тока
- •Примеры решения задач
- •Задачи контрольных работ
- •Основные физические постоянные
- •Плотность твердых тел
- •Плотность жидкостей
- •Эффективный диаметр молекул
- •Диэлектрическая проницаемость
- •Удельное сопротивление металлов
- •Оглавление
5. Электростатика
5.1. Закон Кулона:
,
где
F
- сила
взаимодействия между точечными зарядами
q1
и q2,
находящимися на расстоянии r
в среде с диэлектрической проницаемостью
;
- электрическая постоянная,k
– коэффициент пропорциональности,
равный
Нм2/Кл2.
5.2. Напряженность электростатического поля:
,
где
- сила, действующая на точечный
положительный зарядq,
помещенный в данную точку поля.
5.3. Поток вектора напряженности через поверхность площади S:
,
где - угол между вектором напряженности
поляи нормалью
к площадиdS.
5.4. Теорема Гаусса:
,
где
ФЕ
– поток вектора напряженности
электрического поля через любую замкнутую
поверхность;
- алгебраическая сумма зарядов, заключенных
внутри замкнутой поверхности;N
– число зарядов.
5.5. Потенциал электростатического поля:
,
где
- потенциальная энергия точечного
положительного зарядаq,
помещенного в данную точку поля.
5.6. Связь между разностью потенциалов и напряженностью:
в векторной записи
,
в скалярной записи
,
в случае однородного поля
,
где
()
– разность потенциалов между двумя
точками поля, Δr
- расстояние
между этими точками вдоль силовой линии.
5.7. Напряженность, потенциал электростатического поля, созданного
точечным зарядом q, на расстоянии r от заряда:
;
;
бесконечно длинной нитью, заряженной с линейной плотностью заряда
, на расстоянииr от нити:
;
;
заряженной проводящей сферой радиуса R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:
а) внутри сферы (r<R)
;
;
б) вне сферы (r>R)
;
;
равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плоскостью зарядов
:
;
.
5.8. Принцип суперпозиции полей:
;
,
где
,
- напряженность, потенциал результирующего
поля в данной точке;
,
- напряженность, потенциал поля,
создаваемого в данной точке отдельным
точечным зарядомqi;
(при расчете
потенциала поля необходимо учитывать
знак заряда).
5.9.
Работа сил электростатического поля
по перемещению заряда q
из точки с потенциалом
в точку с потенциалом
:
.
5.10. Электроемкость:
уединенного сферического проводника радиуса R:
;
плоского конденсатора площадью S и расстоянием d между пластинами:
;
последовательно соединенных конденсаторов:
;
параллельно соединенных конденсаторов:
,
где
- диэлектрическая проницаемость среды,
в которой находится уединенный проводник,
а для конденсаторов – среды между
обкладками.
5.11. Энергия заряженного конденсатора:
,
где q – заряд на обкладке конденсатора; U – напряжение между обкладками.
6. Постоянный ток
6.1. Сила тока:
,
где dq – количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника за время dt.
Если ток постоянный:
.
где q – заряд, прошедший через поперечное сечение за время t.
6.2. Плотность тока:
,
где
- ток, прошедший через площадь поперечного
сечения
,
перпендикулярного направлению движения
зарядов.
6.3. Закон Ома:
для однородного участка цепи (рис.11):
;
для неоднородного участка цепи (рис.12):
;
д
ля замкнутого контура (рис.13):
,
где
- разность потенциалов на концах участка;
R, r – соответственно внешнее и внутреннее сопротивления.
6.4. Законы Кирхгофа.
6.4.1.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая
сумма токов, сходящихся в узле, равна
нулю; т. е.
,
где n – число токов, сходящихся в узле.
6.4.2.
Второй закон Кирхгофа: в любом замкнутом
контуре разветвленной цепи алгебраическая
сумма произведений сил токовIi
на сопротивление
Ri
соответствующих участков этого контура
равна алгебраической сумме ЭДС
,
встречающихся в этом контуре; т. е.
где
n
– число
участков, содержащих активное
сопротивление;
– число источников в контуре.
При решении задач по законам Кирхгофа необходимо:
Обозначить на схеме узлы и контуры.
Произвольно выбрать направление токов (если они не оговорены условием задачи) во всех участках цепи и обозначить их на чертеже стрелками.
Учесть направление токов при составлении первого закона (положительными считаются токи, входящие в узел, а отрицательными – выходящие из узла).
Составить систему уравнений для первого закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по этому закону, должно быть на единицу меньше числа узлов в цепи.
Выбрать произвольно направление обхода контуров. Считать, что ЭДС в уравнении будет положительной, если направление от отрицательного полюса источника тока к положительному совпадает с направлением обхода, в противном случае ЭДС следует считать отрицательной (рис.15 ).
Считать падение напряжения в цепи (IR) положительным, если выбранное ранее направление тока на этом участке (между двумя узлами) совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным, если направление тока не совпадает с направлением обхода контура.
Первый контур выбрать произвольно. При составлении уравнений для следующих контуров надо включать в них контуры, не входившие в предыдущие уравнения .
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, определяется, исходя из условия, что если число контуров в цепи равно m, а число узлов в ней n, то число независимых уравнений, достаточных для решения, будет равно
.
Получение в ответе токов с отрицательными знаками означает, что было выбрано направление, обратное действительному.
6.5. Сопротивление проводника длиной l, площадью поперечного сечения S и удельным сопротивлением ρэ:
.
6.6.
Сопротивление проводников:
при последовательном соединении (Рис.16а)
;
при параллельном соединении (Рис.16б)
,
где Ri – сопротивление отдельного i проводника.
6.7. Работа тока при напряжении U и силе тока I за время t:
.
6.8. Мощность тока:
.
6.9. Закон Джоуля – Ленца:
,
где Q – количество теплоты, выделившейся в проводнике при прохождении по нему тока I за время t.
Примеры решения задач.
Пример 7. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии Δх=1см друг от друга, на нити висит заряженный шарик, масса которого равна 0,1 г. После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В, нить с шариком отклонилась на угол 100. Найти заряд шарика.
Дано:
м;m
=
кг;
В;
.
Найти: q.
Решение.
Пусть для определенности q
> 0. На шарик действуют сила тяжести
,
сила натяжения нити
и сила кулоновского взаимодействия
(рис.17).
Сила, с которой электрическое поле действует на заряд, помещенный в это поле:
(1)
где
- напряженность поля, образованного
двумя пластинами (поле плоского
конденсатора) однородно,
.
Электрическое поле конденсатора является однородным, поэтому
, (2)
где
- разность потенциалов между пластинами;
- расстояние между ними.
Шарик находится в равновесии, следовательно
.
В проекциях на координатные оси «x»и «y» получим систему уравнений:
x:
или
;
y:
или
,
откуда
следует, что . (3)
Приравнивая
выражения для силы
(1) и (3), учитывая (2),
получим: ,
откуда .
Выполним вычисления:
нКл.
Ответ:
q
= 1,7Кл.
Пример
8.
Электрическое поле образовано положительно
заряженной бесконечно длинной нитью.
Двигаясь под действием этого поля от
точки, находящейся на расстоянии х1
= 1 см от нити, до точки х2
= 4 см,
-
частицаизменила
свою скорость от
1=
2
м/с до
2
= 3
м/с. Найти линейную плотность заряда на
нити τ.
Дано:
х1
=
м; х2
= 4
м;
м/с;
м/с.
Найти: τ
Решение.
Электрическое поле совершает работу
по перемещению, α
– частицы, изменяя тем самым кинетическую
энергию
-
частицы :
(1)
где
W2,
W1
– кинетические энергии α
– частицы в точках поля с потенциалами
и
;А12
– работа по перемещению частицы между
точками на расстояниях от нити х2
и х1;
m
– масса α
– частицы.
Работа по перемещению заряда в электрическом поле:
А12=q (φ1-φ2) (2)
где (φ1-φ2) – разность потенциалов между точками поля (рис.18).
Разность потенциалов найдем, используя связь между напряженностью и разностью потенциалов для неоднородного поля:
, (3)
где
- напряженность поля, созданного
заряженной нитью в точке на расстоянии
х
от нити
;
- линейная плотность заряда нити.
Подставим выражение для разности потенциалов (3) в формулу работы (2):
. (4).
Приравняв выражения работы (1) и (4), получим:
.
Проверим размерность:
Выполним вычисления:
Кл/м.
Ответ:
.
Пример 9. На рисунке 19 приведена схема электрической цепи батареи с = 120 В; R3= 20 Ом; R4= 25 Ом, падение потенциала на сопротивлении R1 равно U1= 40 В. Амперметр показывает ток 2 А. Найти сопротивление R2. Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.
Дано: = 120 В; R3 = 20 Ом; R4 = 25 Ом; U1 = 40 В; IA = 2 А.
Найти: R2.
Решение.
Сопротивления
и
соединены параллельно (Рис19), следовательно:
IA = I2 + I3, (1)
, (2)
где
IA,
I2,
I3
– соответственно общий ток, токи в
нагрузках R2
и R3;
- падения напряжения на сопротивлениях
и
.
По закону Ома для участка цепи:
,
,
отсюда
. (3)
ЭДС источника равна сумме падений напряжений на всех участках цепи:
,
откуда
.
(4)
В
(4) падение напряжения на сопротивлении
R4
заменим соотношением
В результате получим:
В.
Используя (2) рассчитаем ток через сопротивление R3:
I3=А.
Учитывая (1) рассчитаем ток через сопротивление R2:
I2 = IA – I3 = 2 – 1,5 = 0,5 А.
Определим
,
учитывая (2):
Ом
Ответ: R2 = 60 Ом
Пример
10. Три
источника тока с ЭДС
В,
В,
В и внутренними сопротивлениями
Ом и три реостата с сопротивлениями
Ом,
Ом,
Ом
соединены, как показано на рисунке 20.
Определить силу тока в реостатах.
Дано:
В;
В;
В;
Ом;
Ом;
Ом;
Ом.
Найти:
Решение. Силы токов в разветвленной цепи определим с помощью правил Кирхгофа. Для этого составим столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин.
Перед составлением уравнений выберем произвольно направления токов на всех участках цепи и направления обхода контуров ( рис. 20)
Воспользуемся первым правилом Кирхгофа, учитывая, что ток, входящий в узел, входит в уравнение со знаком “+”, а ток, выходящий из узла – со знаком “–” .
Для узла А
,
или
При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа учтём, что
если
направление тока на участке контура
совпадает с выбранным направлением
обхода, то соответствующее произведение
входит в уравнение со знаком “плюс”,
в противном случае – со знаком “минус”;
если
при обходе контура внутри источника
тока осуществляется переход от “–” к
“+”, то соответствующая
входит в уравнение со знаком “плюс”,
в противном случае – со знаком “минус”.
Для контуров:
ACDBА:
;
(1)
2) CDFEС:
.
(2)
Подставив
значения
в соотношения (1) и (2), получим систему
уравнений:
.
Решим эту систему с помощью определителей. Для этого запишем её в виде:
Искомые токи найдем по формулам:
;
;
Найдем
определители
:
Тогда
А;
А;
А.
Знак
“минус” у тока
говорит о том, что направление тока на
рисун-
ке 14 было указано противоположно
истинному, т.е. ток идет от узлаB
к узлу A.
Ответ:
;
;
.
Пример
11.
Сила тока в
проводнике сопротивлением
равномерно растет от
до
за время
.
Определить выделившееся в проводнике
за это время количество теплоты.
Дано:
,
,
,
.
Найти:
.
Решение. Согласно закону Джоуля-Ленца для бесконечно малого промежутка времени:
.
По
условию задачи сила тока равномерно
растет, т.е.
,
где
– коэффициент пропорциональности:
.
Тогда можно записать:
(1)
Проинтегрировав
(1) и подставив выражение для
,
найдем искомое количество теплоты:
.
Выполним вычисления:
.
Ответ:
.