![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Северный (Арктический) федеральный университет Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Электродинамика.
- •Архангельск
- •Основные законы и формулы
- •1. Кинематика движения материальной точки
- •2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
- •3. Динамика вращательного движения твердого тела
- •3.9. Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz
- •Примеры решения задач
- •4. Молекулярная физика и термодинамика
- •5. Электростатика
- •6. Постоянный ток
- •7. Магнитное поле тока
- •Примеры решения задач
- •Задачи контрольных работ
- •Основные физические постоянные
- •Плотность твердых тел
- •Плотность жидкостей
- •Эффективный диаметр молекул
- •Диэлектрическая проницаемость
- •Удельное сопротивление металлов
- •Оглавление
3.9. Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz
А
=
3.10. Кинетическая энергия при плоском движении твёрдого тела:
,
где
- скорость центра масс тела,
- момент инерции тела относительно на
оси, проходящий через центр масс тела.
Примеры решения задач
Пример 1. Точка движется вдоль оси Х так, что координата х с течением времени изменяется согласно уравнению х=A+Bt+Ct2, где А=3 м, В=2 м/с,
С =1 м/с2. Найти среднюю скорость тела за первую и вторую секунды движения.
Дано: х =A+Bt+Ct2; А=3 м; В=2 м/с; С=1 м/с2.
Найти:
ср1,
ср2.
Решение. По определению средняя скорость тела – это отношение пути, пройденного телом за время t, к величине этого промежутка времени:
.
Выясним, меняет ли точка направление движения в данные интервалы времени. Для этого найдем проекцию мгновенной скорости на ось х:
.
Получили,
что во все моменты времени
,
направление движения точки не меняется.
Путь, пройденный телом за первую секунду:
,
где
и
- координаты точки в моменты времени
и
.
В нашем случае t0=0 c, t1=1с, следовательно, путь ΔS1:
м
Средняя скорость за первую секунду:
м/с.
Аналогично путь, пройденный телом за вторую секунду:
м.
Средняя скорость за вторую секунду:
м/с.
Ответ:3 м/с, 5 м/с.
Пример 2. Небольшое тело брошено со скоростью υ0 = 10м/с под углом 450 к горизонту.
Найти радиус кривизны траектории тела через 1с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано:
=
10 м/с;
;
t=
1 с.
Найти: R.
Решение:
Будем рассматривать движение тела в
прямоугольной системе координат xoy,
считая тело материальной точкой.
Рис.4 Рис.5
Движение тела происходит в поле силы тяжести, роль полного ускорения выполняет ускорение, сообщаемое телу силой тяжести, т.е.
.
Сопротивление
воздуха отсутствует, поэтому проекция
вектора скорости
на осьox
постоянна :
. (1)
Проекция
скорости
на ось oy меняется вследствие действия
силы тяжести:
. (2)
В
верхней точке траектории
,
поэтому в момент времениt1,
когда тело достигает высшей точки
траектории:
,
с.
Так как t1<t, следовательно, тело прошло высшую точку траектории и находится на спуске, например в точке А (рис.4, 5).
Полное
ускорение тела в точке А равно ускорению
свободного падения
,
направлено вертикально вниз и
перпендикулярно проекции скорости
.
Нормальное ускорение
перпендикулярно вектору скорости
.
Из подобия треугольников Ааng
и
следует:
или
. (3)
В тоже время:
. (4)
Приравняв соотношения (3) и (4), получим:
. (5)
Следовательно, для нахождения радиуса кривизны траектории необходимо найти скорость тела в момент времени t.
Модуль
скорости
выразим через ее проекции
,
:
, (6)
определяемые по формулам (1) и (2):
. (7)
Вычислим
скорость
,
используя формулу (7) и радиус R
по фомуле (5):
м/с.
м.
Ответ:
м.
Пример 3. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули mn в тысячу раз меньше массы шара mш. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули при условии, что стержень с пулей отклонился от вертикального положения от удара пули на угол 100.
Дано:
;
;
l
= 1 м.
Найти:
.
Решение. Пусть в момент удара шар находился в положении D. В результате взаимодействия с пулей шар поднялся на некоторую высоту h = СD. Полагая шар материальной точкой,
можно
записать на основании закона сохранения
импульса для неупругого удара:
, (1)
где
- скорость системы «шар - пуля» после
попадания пули в шар.
По закону сохранения механической энергии для системы «шар - пуля»:
. (2)
Из рис.6 следует:
,
откуда
. (3)
Так
как ,
то
.
Преобразуем
соотношения (1) и (2), учтя, что
,
получим:
; (4)
. (5)
Из уравнений (3)и (5) находим скорость шара с пулей, полученную в момент удара пули:
.
Проверим размерность:
.
Выполним вычисления:
м/с.
Ответ:
=550
м/с.
Пример 4. Найти кинетическую энергию платформы, движущейся со скоростью 9 км/ч, если масса платформы вместе с колесами 78 кг. Колеса считать однородными дисками. Общая масса колес 3 кг.
Дано:
mп
= 78 кг; 4mк=m=3
кг;
= 9 км/ч=2,5 м/c.
Найти: Ек.
Решение. Кинетическая энергия платформы складывается из энергии поступательного движения Епост платформы как целого и кинетической энергии вращательного движения четырех колес Евр:
,
,
;
где
I
– момент
инерции колеса (сплошного диска) массой
mk
и радиуса r
относительно оси вращения, проходящей
через центр колеса ( ).
Учитывая,
что
,
,
а
,
получим:
.
Поэтому полная кинетическая энергия платформы
Дж.
Ответ: 250 Дж.