§ 2. Случайные величины

2.1. Понятие случайной величины; закон распределения, функция и плотность распределения и их свойства. Пусть Ω = {ω} – пространство элементарных событий. Случайной величиной ξ (одномерной) называется функция ξ(ω), определяемая на множестве Ω, принимающая числовые значения и такая, что для каждого действительного x определена вероятность P{ξ < x} = P{ω : ξ(ω) < x}. Эта вероятность P{ξ < x} = F(x)называется функцией распределения случайной величины ξ..

Свойства функции распределения: 1) F(x) – неубывающая функция, т.е. F(x₁) ≤ F(x₂), если x₁ < x₂ ; 2) F(x) – непрерывная слева функция, т.е P{a ≤ ξ < b} = F(b) – F(a); 3) 0 ≤ F(x) ≤ 1; 4) F(x) – определена на всей числовой оси, причём F(– ∞) = 0, F(∞) = 1.

Случайная величина ξ называется дискретной, если существует конечное или счётное множество чисел x₁, x₂, …, x_k , … (без предельных точек), таких, что

P(ξ = x_k) = p_k > 0, k = 1, 2, …; . (2.1)

Совокупность значений x_k и соответствующих вероятностей p_k называется распределением дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины F(x) = P{ξ < x} = , где суммируются вероятности тех значенийx_k, которые меньше x.

П р и м е р ы д и с к р е т н ы х р а с п р е д е л е н и й

1. Биномиальное распределение

0 < p < 1, k = 0, 1, 2, …, n .

2. Распределение Пуассона

λ > 0, k = 1, 2, … .

3. Геометрическое распределение

0 < p < 1, k = 1, 2, … .

1. Гипергеометрическое распределение

.k = 0, 1, 2, …, min (M,n).

Случайная величина ξ называется непрерывной случайной величиной, если её функция распределения представима в виде

, (2.2)

где f(x) – некоторая неотрицательная функция, называемая плотностью распределения случайной величины ξ.

Свойства плотности вероятности:

1) f(x) ≥ 0; 2) f(x) = ; 3); 4).

П р и м е р ы н е п р е р ы в н ы х р а п р е д е л е н и й

1. Равномерное распределение

.

2. Нормальное распределение (с параметрами μ,σ)

3. Показательное распределение

4. Распределение Коши

.

2.2. Числовые характеристики случайных величин.

Характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.

Средним значением или математическим ожиданием (м. о.) случайной величины ξ называют число

M ξ (для дискретной случайной величины), (2.3)

M ξ = (для непрерывной случайной величины), (2.4)

причём предполагается, что и ряд и интеграл сходятся абсолютно. В этих формулах x_i – значения случайной величины, p_i – их вероятности, F(x) и f (x) – функция и плотность распределения вероятности.

Свойства математического ожидания:

1. МС = С, где С – const т.е. математическое ожидание постоянной

величины равно этой постоянной;

2) М(Сξ) = С·М(ξ) – математическое ожидание произведения случайной величины на постоянный множитель равно математическому ожиданию этой случайной величины, помноженному на эту постоянную;

3) М(ξ ± η) = М(ξ) ± М(η), где ξ и η – любые случайные величины – математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин;

4) М(ξ·η) = М(ξ)·М(η), если ξ и η – независимые случайные величины – произведение независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Случайные величины ξ и η называются независимыми, если для любых x и y имеет место равенство P{ξ < x, η < y} = P{ξ < x}· P{η < y}/

Модой (М_о) случайной величины называется наиболее вероятное её значение (в дискретном случае) или её значение, доставляющее максимум плотности вероятности (при непрерывном распределении), т.е. f (x = М_о) = max f(x) или

.

Медианой случайной величины ξ называется такое её значение М_е, для которого P{ξ < M_e}= P{ξ > M_e}.

Основными характеристиками рассеяния случайной величины являются дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией Dξ случайной величины ξ называется математическое ожидание случайной величины(ξ – Dξ)²: Dξ = M(ξ – Dξ)². Дисперсия вычисляется по формулам:

Dξ = – для дискретных случайных величин и (2.5)

Dξ = – для непрерывных случайных величин. (2.6)

Свойства дисперсии:

1) дисперсия постоянной равна нулю, т.е. DC = 0, C = const;

2) дисперсия произведения случайной величины на постоянную равна произведению дисперсии этой случайной величины на квадрат этой постоянной, т.е. D(c·ξ) = c²·D(ξ);

3) суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е., если М(ξ·η) = М(ξ)·М(η), то D(ξ + η) = Dξ + Dη.

Средним квадратичным отклонением (стандартным отклонением) случайной величины ξ называется величина σ = .

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями начальных и центральных моментов k-го порядка случайной величины ξ, которые определяются соответственно формулами:

ν_k = Mξ^k ; μ_k = M(ξ – Mξ)^k. (2.7.а)

Очевидно ν₁ = Mξ и μ₂ = Dξ.

В некоторых случаях удобно рассматривать центральные моменты относительно произвольного центра a: , а такжеабсолютные и факториальные моменты

; , (2.7.b)

более удобные при работе с дискретными распределениями.

Центральные моменты выражаются через начальные и наоборот:

,

в частности:

μ₂ = ν₂ – ν₁, μ₃ = ν₃ – 3 ν₁ν₂ + 2 ν₁³ , μ₄ = ν₄ – 4 ν₁ν₃ + 6 ν₁²ν₂ – 3 ν₁⁴.

Абсолютные моменты чётных порядков совпадают с обычными моментами, а нечётного – отличаются знаком; для практического использования факториальных, моментов в большинстве случаев, достаточно следующих соотношений:

,

где - начальный факториальный моментk – го порядка.

Моменты представляют собой совокупность постоянных, характе-ризующих распределение и полезную как для измерения его свойств так и, при некоторых условиях, для его определения. Однако они не являются единственной и, тем более, наилучшей для этих целей совокупностью постоянных. Иное множество постоянных, называемых семиинвариантами (или кумулянтами), обладает свойствами, более полезными с теоретической точки зрения. Их главное отличие от моментов относительно произвольной точки (в том числе и начальных) состоит в том, что все семиинварианты (за исключением первого) инвариантны относительно изменения начала отсчёта. Формально семиинварианты {γ_k}определяются тождеством

, (2.8)

где φ(t) – характеристическая функция [см. раздел 2.6].

Различные моменты и семиинварианты связаны между собой. Для практического применения полезны, в частности, соотношения

γ₂ = μ₂, γ₃ = μ₃, γ₄ = μ₄ – 3μ₂², μ₄ = γ₄ + 3γ₂²;

ν₁ = γ₁, ν₂ = γ₂ + γ₁², ν₃ = γ₃ + 3γ₁γ₂ + γ₁³, ν₄ = γ₄ + 4γ₁γ₃ + 3γ₂² + 6γ₁²γ₂ + γ₁⁴.

Для характеристики формы плотности распределения случайной величины ξ используются также такие величины как асимметрия и эксцесс.

Асимметрия A_S = μ₃ ∕σ³ характеризует симметричность распределения относительно математического ожидания: если распределение симметрично, т. е. Mξ = M_O = M_e , то A_S = 0; если A_S > 0, то кривая плотности вероятности имеет «скос» с левой стороны; если A_S < 0, то – с правой стороны.

Эксцессом случайной величины ξ называется величина . Для нормального распределенияE_k = 0. Величина E_k характеризует «крутость» кривой плотности вероятности по сравнению с кривой Гаусса. Для островершинных кривых E_k > 0, для пологих – E_k < 0.

3. Законы распределения функций случайных аргументов.

Пусть случайная величина ξ задана функцией распределения F(x) или плотностью вероятности f(x), а другая случайная величина η связана с первой функциональной зависимостью η = φ(ξ). Функция распределения G(y) = P{η < y}случайной величины η выражается через функцию и плотность распределения случайной величины ξ следующим образом:

, (2.9)

где Δ_k(y) – интервалы, в которых выполняется неравенство φ(x) < y, и суммирование в формуле распространяется на все такие интервалы. Границы этих интервалов зависят от y и при заданном конкретном виде функции

y = φ(x)могут быть выражены как явные функции y.

В частности, если ξ – непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x)и плотностью вероятности f(x), а функция y = φ(x)является монотонной на всей области определения и определена обратная функция x = φ^-1(y) ≡ ψ(y), тогда

G(y) = P{η < y}= P{ φ(ξ) < y} = P{ξ < φ^-1(y)}= F(φ^-1(y)) = F(ψ(y)),

если функция y = φ(x) монотонно возрастает и

G(y) = 1 – F(φ^-1(y)) = 1 – F(ψ(y)), если она монотонно убывает.

Плотность распределения g(y) случайной величины η (если она суще-ствует) получается путём дифференцирования функции распределения G(y):

g(y) = G¢ (y) =, (2.10)

в простейшем случае монотонной функции η = φ(ξ) имеет место соотношение

g(y) = f [ψ(y)] ·| ψ ʹ(y)| , где знак производной определяется возрастанием или убыванием функции y = φ(x).

В достаточно общем случае, когда функция G(y) имеет точки разрыва y₁, y₂, …, y_п со скачками p₁, p₂, …, p_п, что означает существование значений случайной величины η (совпадающей с точками разрыва y₁, y₂, …, y_п), которым соответствуют ненулевые вероятности p₁, p₂, …, p_п, плотность распределения вероятностей g(y) в этих точках обращается в бесконечность.

Математическая идеализация указанного явления опирается на использование дельта-функции Дирака δ(y), которая не является функцией в обычном понимании, а представляет собой так называемую обобщённую функцию. Можно дельта-функцию рассматривать как производную функции единичного скачка: δ(y) = ηʹ(y), где

В классическом анализе функция η(y) не дифференцируется в точке у = 0, однако в теории обобщенных функций это ограничение снимается. Тогда функцию G(y) можно представить в виде G(y) = Ĝ(y) + , гдеĜ(y) – непрерывная («сомкнутая») функция. Тогда плотность вероятности g(y) = ĝ(y) + , гдеĝ(y) = Ĝʹ(y).

Если требуется определить лишь числовые характеристики случайной величины η = φ(ξ), нет необходимости находить её закон распределения. Числовые характеристики выражаются через закон распределения случайного аргумента ξ. Так если ξ имеет плотность распределения f(ξ), то математическое ожидание Mη и дисперсия Dη равны соответственно

Mη =;Dη =. (2.11)