В полученном выражении фигурирует комплексная величина , имеющая смысл корреляционного интеграла для аналитического сигнала s(t):

Корреляционный интеграл согласно (5.4) можно переписать в виде

T

z(t)s(t, )dt V cos( ) ,

0

тогда логарифм отношения правдоподобия

а само отношение правдоподобия

Считая, что начальная фаза сигнала является случайной величиной, имеющей равномерное в интервале (0, 2π) распределение, выполним усреднение отношения правдоподобия по ансамблю:

где I0(a) – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, тогда

Правило некогерентного приема сигнала со случайной равновероятной начальной фазой на фоне гауссовского шума должно быть основано на сравнении величины с некоторым порогом, а правило различения двух сигналов – на сравнении двух отношений правдоподобия между собой.

Предположим, что рассматривается прием двух сигналов s1(t) и s0(t).

Сравнение усредненных отношений правдоподобия можно заменить сравнением их логарифмов

или сравнением с порогом разности логарифмов

Алгоритм сильно упрощается, если энергии сигналов равны, в этом случае в силу монотонности функции I0 можно сравнивать между собой

величины:

То же правило можно реализовать с использованием согласованных фильтров по схеме, рисунок 5.3. Здесь вычисление величин V1 и V0

производится устройством, называемым детектором огибающей ДО.

5.3. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приёма

Определим потенциальную помехоустойчивость некогерентного приема на примере системы с пассивной паузой при равных априорных вероятностях посылок

s1(t) = A cos(ωt + φ), s0(t) = 0, p1 = p0 = 0,5 Средняя вероятность ошибки равна

Здесь w1(V|H1) и w0(V|H0) – условные плотности распределения

вероятности огибающей корреляционного интеграла при условии гипотез о передаче сигналов s1(t) и s0(t) соответственно, Vп – порог (рис. 5.4).

При гипотезе H0 значение огибающей обусловлено только шумом,

тогда квадратурные составляющие являются независимыми нормальными случайными величинами с нулевыми средними и дисперсиями N0E/2 (см.

выражение 5.2).

Рис. 5.4. Выбор порога при некогерентном приеме

Условная плотность распределения вероятностей огибающей имеет рэлеевский вид

Если наблюдаемое колебание содержит сигнал s1(t), то огибающая имеет обобщенное рэлеевское распределение (распределение Рэлея – Райса)

Средняя вероятность ошибки равна

(5.5)

Второй интеграл берется по частям, при этом

Оптимальное значение порога, при котором достигается потенциальная помехоустойчивость некогерентного приема, является решением уравнения dpош/dVп = 0. Точно решить полученное уравнение не

удается. Поэтому оптимальный порог определяется приближенными выражениями

Подставляя в (5.5) порог E/2, получим среднюю вероятность ошибки при больших отношениях сигнал/шум (ОСШ):

При больших ОСШ (E/N0 ≥ 10) первым слагаемым можно пренебречь, тогда

Аналогично можно проанализировать помехоустойчивость приема двух ортогональных частотно-манипулированных сигналов; для этого случая средняя вероятность ошибки

Сигналы с фазовой манипуляцией при случайной начальной фазе каждой посылки, очевидно, применять при некогерентном приеме нельзя.

Однако при медленных изменениях фазы можно использовать относительную фазовую манипуляцию, при которой начальная фаза следующей посылки совпадает с начальной фазой предыдущей посылки при передаче символа «0» и отличается от нее на 1800 – при передаче символа «1». При этом средняя вероятность ошибки