Лекция 5. Помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений 5.1. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёма

По определению В.А. Котельникова потенциальной помехоустойчивостью называется максимум вероятности правильного решения, достижимый при заданных условиях приема сигналов на фоне помех (шумов).

Определим потенциальную помехоустойчивость приёма двух сигналов, s0(t) и s1(t) известной формы на фоне белого гауссовского шума

при равных априорных вероятностях сигналов.

Алгоритм принятия решения в приемнике, реализующем критерий максимума правдоподобия, кратко запишем в виде

Это выражение можно привести к виду

Ошибки при приеме состоят в том, что при передаче первого сигнала принимается решение о приеме второго и наоборот. Поскольку гауссово распределение симметрично и априорные вероятности равны.

Найдем условную вероятность ошибки, т.е. вероятность события, заключающегося в принятии решения о наличии сигнала s0(t) при условии,

что в наблюдаемом колебании присутствует сигнал s1(t). Это событие соответствует выполнению неравенства

которое можно переписать в виде

Проведя очевидные преобразования, получим

(5.1)

Левая часть неравенства представляет собой случайную величину (т.к. это интеграл по времени от случайного процесса ξ(t) с весом, равным разности сигналов sΔ(t) = [s1(t) - s0(t)]), имеющую нормальное

распределение (поскольку процесс ξ(t) гауссов) с нулевым средним; обозначим ее v, её дисперсия (средний квадрат), равна :

(5.2)

Таким образом, условная вероятность ошибки, равная средней вероятности ошибки при когерентном приеме сигналов на фоне белого шума, определяется энергией разностного сигнала s (t) и спектральной

плотностью мощности шума N0.

Рассмотрим потенциальную помехоустойчивость двоичного когерентного приемника максимального правдоподобия для различных способов модуляции, считая, что энергия сигнала E фиксирована.

Представляет практический интерес сравнительная оценка

потенциальной помехоустойчивости сигналов дискретной модуляции: амплитудной (ДАМ), частотной (ДЧМ), фазовой (ДФМ).

При ДАМ символу «1» соответствует сигнал S1(t), а символу «0» соответствует сигнал S2(t) = 0 («пассивная пауза»), следовательно норма разностного сигнала равна

При ДЧМ и ДФМ символам «1» и «0» соответствуют сигналы S1(t) и S2(t), энергия которых одинакова. При этом для нормы разностного сигнала имеем

где b12 – нормированный коэффициент корреляции (-1 ≤ b12 ≤ 1).

В частности, для ортогональных сигналов ДЧМ b12 = 0,

а для противоположных сигналов ДФМ b = -1,

Сигналы с b12 = 1 являются одинаковыми, т.е. , и их невозможно различить. Для них Рош = 0,5 – это эквивалентно обрыву канала связи.

Т.о. энергия разностного сигнала для ДЧМ в 2 раза, а для ДФМ – в 4 раза больше по сравнению с ДАМ. Соответственно возрастает и помехоустойчивость.

1.Амплитудная телеграфия с пассивной паузой

Вэтом случае s0(t) = 0 и энергия разностного сигнала равна E (норма

равна E1/2), рис. 5.1.а. Следовательно, потенциальная помехоустойчивость определяется средней вероятностью ошибки

2. Частотная телеграфия с ортогональными сигналами Два сигнала представляют собой радиоимпульсы одинаковой формы с

различными несущими частотами, так что сигналы взаимно ортогональны (рис. 5.1.б). Энергия разностного сигнала равна 2E, а средняя вероятность ошибки

Повышение потенциальной помехоустойчивости при переходе от АТ- ПП к частотной телеграфии представляется естественным, так как во втором случае вдвое возрастает средняя мощность передатчика. Средняя вероятность ошибки может быть понижена без увеличения мощности передатчика, если перейти к взаимно обратным сигналам.

3. Фазовая телеграфия с манипуляцией фазы на 1800 В случае фазовой телеграфии с взаимно обратными сигналами (рис.

5.1.в) энергия разностного сигнала составляет 4E , средняя вероятность ошибки равна

и дальнейшее повышение потенциальной помехоустойчивости за счет выбора сигналов при заданной энергии, очевидно, невозможно.

Заметим, что если используются три сигнала одинаковой энергии, то для достижения максимальной помехоустойчивости они должны иметь взаимный фазовый сдвиг 1200, т.е. соответствующие сигналам точки должны располагаться на окружности радиуса E1/2 в вершинах равностороннего треугольника (рис. 5.1.г). Если сигналов четыре, то оптимальным является их размещение в вершинах правильного тетраэдра, вписанного в сферу

радиуса E1/2.

В общем случае оптимальный выбор системы из n сигналов соответствует их расположению в вершинах правильного (n - 1) – мерного симплекса, вписанного в (n - 1) – мерную сферу (отрезок, треугольник и тетраэдр являются одномерным, двумерным и трехмерным симплексами).

Рис. 5.1. К помехоустойчивости приема двух и трёх сигналов

5.2. Некогерентный приём

На практике иногда не удается обеспечить условия для когерентного приема сигналов, так как один или несколько параметров принимаемого сигнала оказываются неизвестными. Такая ситуация типична, например, для систем спутниковой связи, радиосвязи с подвижными объектами, и т.п., поскольку расстояние между передатчиком и приемником изменяется случайным образом. Это приводит, в частности, к тому, что меняется начальная фаза несущего колебания.

Если изменение происходит настолько медленно, что соседние посылки имеют практически одинаковую начальную фазу, то ее можно оценить и оценку использовать вместо точного значения при организации приема. Такой прием называют квазикогерентным.

Если же начальная фаза изменяется (флюктуирует) быстро или устройство оценивания оказывается слишком сложным, тогда рассматривается задача приема сигнала со случайной начальной фазой, или некогерентного приема.

Перепишем выражение (4.7) для логарифма отношения правдоподобия при приеме сигнала s(t):

(5.3)

Сигнал при некогерентном приеме известен с точностью до начальной фазы, поэтому обозначим его s(t, φ) и запишем

В этом выражении неизвестная начальная фаза сигнала представлена

комплексным фазовым множителем e-jφ при аналитическом комплексном сигнале, который определяется выражением вещественная и мнимая части связаны парой преобразований Гильберт

Тогда очевидно,

Корреляционный интеграл в выражении (5.3) в таком случае приобретает вид

(5.4)