После интегрирования получим закон изменения угловой
скорости при равнопеременном вращении тела. |
|
0 t. |
(10) |
Представим угловую скорость в виде производной:
d 0 t. dt
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении.
d 0dt tdt.
Интегрируем это выражение, учитывая начальные условия: при
t = 0 = 0. |
|
|
t |
t |
|
|
|
|
d 0 dt tdt. |
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
После интегрирования получим закон равнопеременного |
|||||||
вращения тела |
|
|
t |
t2 |
. |
(11) |
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
0 |
2 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
||
7. Переменное вращение
Вращение тела с переменным во времени ускорением называется переменным вращением. В этом случае ускорение тела может быть представлено в виде функций:
1) = f(t); |
2) = f( ); |
3) = f( ). |
(12) |
Найдём в общем виде уравнения вращения тела для каждого из этих случаев.
1. Представим первое равенство в (12) в виде дифференци-
ального уравнения: |
d |
f t . |
|
||
Разделим переменные |
dt |
|
|
d f t dt. |
|
Проинтегрируем это выражение с учётом начальных условий. |
||
|
t |
|
d f t dt. |
22 |
|
0 0
После интегрирования и преобразований получим:
0 t |
f t dt. |
(13) |
0 |
|
|
Представим уравнение(13) в виде дифференциального уравне-
ния. |
d 0 |
t |
f t dt. |
||||
|
dt |
|
|
|
0 |
|
|
Разделим переменные. |
|
|
t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
d dt |
|
|
f |
t dt dt. |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Выполним интегрирование с учётом начальных условий |
|||||||
вращения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
t |
|
|
d |
|
dt |
|
|
|
f t dt dt. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
23
После интегрирования и преобразований получим уравнение
вращения тела. |
|
|
|
|
t |
t |
f t dt |
|
|
|
|
|
t |
|
|
dt. |
(14) |
||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
2. Представим второе равенство в (11) в виде дифференци- |
|||||||||
ального уравнения: |
d |
f . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Разделим переменные, умножив обе части равенства на d
ddt d f d .
Производная в левой части равенства равна угловой скорости
тела.
d f d .
Интегрируем это равенство, учитывая начальные условия
вращения тела. |
|
|
|
|
d f d . |
24 |
|
|
0 |
0 |
|
После интегрирования и преобразований получим закон изменения угловой скорости тела:
|
|
|
|
|
02 2 f |
d . |
(15) |
Представим равенство (15) 0в виде дифференциального уравнения.
d |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
f d . |
|||
dt |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Разделим переменные, умножив равенство на dt и разделив на |
|||||
правую часть равенства. |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02 2 f |
d |
||
0
Интегрируем это равенство с учётом начальных условий.
25
|
d |
|
t |
|
|
dt. |
|
|
|
||
|
|
||
0 |
02 2 f |
d |
0 |
0
Из этого равенства определяют уравнение вращательного движения тела. Если интеграл в левой части равенства является простым алгебраическим выражением, то угол поворота тела представляют в виде функции от времени:
f t .
Если интеграл в левой части равенства является трансцендентным выражением (угол в явном виде не выражается от t), то связь между временем и углом представляется трансцендентным уравнением:
f ,t 0.
Это трансцендентное уравнение решается на ЭВМ и связь между и t представляется в виде таблицы или графика.
26
3. Представим третье равенство в (12) в виде дифференци-
ального уравнения: |
d |
f . |
|
||
|
dt |
|
Разделим переменные, умножив равенство на dt и разделив равенство на правую часть выражения.
|
d |
dt. |
|
||
|
|
|
|||
|
f |
|
|||
Интегрируем это равенство с учётом начальных условий |
|||||
вращения: |
|
d |
t |
|
|
|
|
dt. |
(16) |
||
|
f |
|
|||
|
|
0 |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
Допустим, что интеграл в левой части равенства (16) – простое алгебраическое выражение и удалось представить угловую скорость в виде явной функции от t.
27
f t .
Представим полученное выражение в виде дифференциаль-
ного уравнения.
d f t . dt
Разделим переменные, умножив равенство на dt.
d f t dt.
Интегрируем это равенство с учётом начальных условий
вращения тела. |
|
|
|
|
d t |
f t dt. |
|
|
0 |
0 |
|
В результате получим уравнение вращения тела в общем виде:
0 t |
f t dt. |
0 |
|
28
Если интеграл в левой части равенства (15) – трансцендентное выражение ( в явном виде не выражается функцией от t), то зависимость угловой скорости от времени выражается
трансцендентным уравнением: |
,t |
0. |
(17) |
f |
Задавая серию значений t, это уравнение решают численно на ЭВМ и представляют зависимость от t в виде таблицы или графика.
Чтобы найти зависимость от t таблицу или график, полученные на ЭВМ по уравнению (17), интегрируют численно или графическим способом. Очевидно, что результат будет представлен в виде таблицы или графика.
29
8. Скорость и ускорение точки вращающегося тела
Как было отмечено ранее, прямые, проведенные в теле параллельно оси вращения (например, прямая mm' на рис. 5), совершают поступательное движение, а значит, скорости и ускорения всех точек каждой такой прямой будут одинаковы. Следовательно, для изучения кинематических характеристик точек тела достаточно определить соответствующие величины для точек сечения, проведенного перпендикулярно оси вращения.
Рис. 5
Траекториями всех точек, не лежащих на оси вращения, являются окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси, рис. 5.
30