- •ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
- •Содержание
- •1. Поступательное движение тела
- •Точки поступательно движущегося тела могут иметь траектории любого вида: прямолинейные и криволинейные, рис.
- •Рассмотрим тело, совершающее поступательное движение относительно неподвижной системы координат Oxyz, рис. 4.
- •Вектор rAB во времени не меняется. Поэтому производная
- •Значит
- •Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной
- •2. Вращательное движение тела
- •Эта прямая называется осью вращения. Траекториями всех точек, не лежащих на оси вращения,
- •С вращательным движением тела вокруг неподвижной оси мы постоянно сталкиваемся в повседневной жизни:
- •В процессе вращения тела D вокруг неподвижной оси полуплоскость Q вращается вокруг оси
- •3. Угловая скорость тела
- •Таким образом, угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной по
- •4. Угловое ускорение тела
- •Таким образом, угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной по
- •5. Равномерное вращение
- •6. Равнопеременное вращение
- •После интегрирования получим закон изменения угловой
- •7. Переменное вращение
- •После интегрирования и преобразований получим:
- •После интегрирования и преобразований получим уравнение
- •После интегрирования и преобразований получим закон изменения угловой скорости тела:
- •3. Представим третье равенство в (12) в виде дифференци-
- •Если интеграл в левой части равенства (15) – трансцендентное выражение ( в явном
- •8. Скорость и ускорение точки вращающегося тела
- •Построим сечение вращающегося тела на рис. 7 плоскостью, перпендикулярной оси вращения, рис. 8
- •Угол между плоскостью Q и радиусом R при вращении тела остаётся постоянным (
- •Характер распределения скоростей точек вращающегося тела, лежащих на линии, проходящей через ось вращения
- •Таким образом, касательные и нормальные ускорения точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям до
- •Полное ускорение точки M равно:
- •9. Векторные выражения скорости и ускорений точки вращающегося тела
- •Производная по времени от вектора угловой скорости равна вектору углового ускорения, который тоже
- •Приведем векторные выражения скорости и ускорения точки вращающегося тела.
- •Направление векторного произведения определяется по правилу векторного произведения.
- •Таким образом, векторного произведения r по величине и направлению это векторное произведение совпадает
- •Формулу (23) называют формулой Ривальса. Из нее следует, что вектор ускорения равен векторной
- •Найдём модуль второго вектора в (23):
- •Таким образом, вектор
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Морской государственный университет им. адм. Г. И. Невельского
Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов
ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Конспект лекции
Составил В. Г. Непейвода
Владивосток |
|
2011 |
1 |
|
Содержание
1.Поступательное движение тела
2.Вращательное движение тела
3.Угловая скорость тела
4.Угловое ускорение тела.
5.Равномерное вращение
6.Равнопеременное вращение
7.Переменное вращение
8.Скорость и ускорение точки вращающегося тела
9.Векторные выражения скорости и ускорений точки вращающегося тела
2
1. Поступательное движение тела
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная через две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению, рис.1, 2.
Рис. 1 |
Рис. 2 |
3
Точки поступательно движущегося тела могут иметь траектории любого вида: прямолинейные и криволинейные, рис. 1 – 3.
Рис. 3
4
Рассмотрим тело, совершающее поступательное движение относительно неподвижной системы координат Oxyz, рис. 4.
Рис. 4
Выберем две точки тела – А и В. Положение этих точек будем |
|
определять радиус векторами |
rA , rB . |
5
|
Рис. 4 |
|
Для |
радиусов-векторов точек А и В тела справедливо |
|
равенство |
rB rA rAB . |
(1) |
|
Длина вектораrAB постоянна, так как равна расстоянию между точками абсолютно твердого тела, а направление вектора
остается неизменным при поступательном движении тела,
следовательно rAB const. |
6 |
Рис. 4
Тогда из уравнения (1) получим, что траектория точки В смещена по отношению к траектории точки А на постоянный вектор rAB . Следовательно, эти траектории при наложении совпадут.
Продифференцировав по времени обе части равенства (1) получим
drB drA drAB . |
|
|
dt dt |
dt |
7 |
Вектор rAB во времени не меняется. Поэтому производная
ddtrAB 0.
Учитывая это из равенства (1) получим:
rB rA rAB . |
(1) |
drdtB drdtA 0.
vB vA. |
(2) |
Таким образом, скорости точек тела при поступательном движении равны.
Найдём ускорения точек А и В. Для этого продифференцируем по времени равенство (2).
dvB |
|
dvA |
. |
8 |
dt |
|
dt |
|
Значит |
|
aB aA. |
(3) |
Как видим, ускорения точек тела при поступательном движении равны.
Полученные результаты определяются следующей теоремой: при поступательном движении тела все его точки описывают геометрически одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения
9
Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной из его точек. Следовательно, изучение кинематики поступательного движения сводится к задаче кинематики точки, нами уже рассмотренной.
Поэтому для задания поступательного движения твёрдого тела достаточно знать параметрические уравнения движения произвольной точки тела. На практике обычно задают параметрические уравнения движения центра тяжести тела.
xC f1 t |
; yC f2 t |
; zC f3 t . |
(4) |
10