Определим касательное ускорение точки.
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dvdt |
d |
|
vx2 vy 2 |
|
v |
a |
x |
v |
a |
y |
|
|||
a |
|
x |
|
|
|
y |
|
. |
|||||||
dt |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
||||||
a |
|
vx 5 ax |
5 vy 5 ay |
5 |
0. |
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|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
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v 5 |
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|
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||||
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Определим нормальное ускорение точки.
a2 a 2 an2 ; |
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|||
a 2 a2 |
a 2 |
|
|
a a2 a 2 |
; |
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
an 5 |
a 5 |
2 a |
5 2 a 5 |
14,804 |
|||
44
Определим радиус кривизны траектории точки.
an |
v2 |
|
|
v2 |
||
|
||||||
|
|
an |
||||
|
|
|
|
|||
5 |
|
v 5 2 |
|
12,5662 |
||
|
|
14,804 10,666. |
||||
an 5 |
||||||
45
x(t) 6 sin |
æ t æ |
y(t) 8 cos |
æ t æ |
|||
æ |
2 æ |
æ |
2 æ |
|||
|
|
|||||
|
8 |
10 |
|
|
|
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|
y(t) |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
y(0) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y(5) |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
10 |
10 |
5 |
0 |
5 |
10 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
6 |
|
x(t) |
|
6 |
46
x(t) 6 sinæ |
|
5 t |
|
æ |
y(t) 8 cos |
æ |
5 t |
|
æ |
|
|||||||||||||||
2 |
|
æ |
æ |
2 |
|
æ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Given |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
æ x æ2 |
|
æ y æ |
2 |
|
|
1 |
|
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|
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|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
æ 6 æ |
æ 8 æ |
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 æ |
|||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
4 |
x2 |
36 2 |
4 |
x2 |
36 |
2 |
æ |
|||||||||
Find(y) |
æ |
|
|
æ |
|||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y1(x) |
4 |
x2 |
36 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2(x) |
4 |
x2 36 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
47
x 10 9.99 10 |
|
|
|
||
|
10 |
|
|
|
|
y1(x) |
5 |
|
|
|
|
y2(x) |
0 |
|
|
|
|
y1(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1(5) |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 10 |
5 |
0 |
5 |
10 |
|
|
|
x |
|
|
48
Решить самостоятельно
Точка движется по винтовой линии согласно уравнениям
x 2cos4м;t |
y 2sin 4 мt |
z 2 мt . |
Определить радиус кривизны траектории.
Ответ:
1 2м.
8
49
Решение с использованием пакета Mathcad
x(t) 2 cos(4t) y(t) 2 sin(4 t) z(t) 2 t
vx(t) ddtx(t) 8 sin(4 t)
vy(t) ddt y(t) 8 cos(4 t)
vz(t) ddtz(t) 2
1
v(t) 
vx(t)2 vy(t)2 vz(t)2 2 16 sin(4 t)2 16 cos(4 t)2 1 2
50
ax(t) d |
vx(t) 32 cos(4 t) |
|
||
dt |
|
|
|
|
ay(t) d |
vy(t) 32 sin(4 t) |
|
||
dt |
|
|
|
|
az(t) d |
vz(t) 0 |
|
||
dt |
|
|
1 |
|
a(t) |
|
|
32 cos(4 t)2 sin(4 t)2 2 |
|
ax(t)2 ay(t)2 az(t)2 |
||||
51
a (t) vx(t) ax(t) vy(t) ay(t) vz(t) az(t) 0 v(t)
1
an(t) 
a(t)2 a (t)2 32 cos(4 t)2 sin(4 t)2 2
(t) |
v(t)2 |
1 |
64 sin(4 t)2 |
64 cos(4 t)2 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
an(t) |
32 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
cos(4 t)2 |
sin(4 t)2 2 |
|
cos(4 t)2 sin(4 t)2 simplify 1
52
(t) |
|
v(t)2 |
1 |
|
64 sin(4 t)2 |
64 cos(4 t)2 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
an(t) |
32 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(4 t)2 sin(4 t)2 2 |
|
|
|
|
1 |
64 sin(4 t)2 |
64 |
cos(4 t)2 4 |
17 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
simplify |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
1 |
|
8 |
|
||
cos(4 t)2 sin(4 t)2 2
(t) 178
(1) 2.125 
53