Какой вид имеют кинематические характеристики прямоли- нейного равномерного движения, если ось совмещена с траек- торией точки?
Уравнение траектории: y =0; z =0. |
|
||||
|
dx |
= v0 = const. |
|||
Скорость точки: |
v =vx = dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
d 2 x |
|
dvx |
|
|
Ускорение точки: |
a = ax = dt2 |
|
= |
|
=0. |
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
22
4. Решение задач
Все задачи кинематики точки можно разделить на прямые и обратные. Прямые задачи связаны с определением кинема- тических характеристик движущейся точки по известным уравнениям движения. Обратные задачи посвящены опреде- лению уравнений движения точки по её кинематическим характеристикам.
Прямые и обратные задачи можно решать различными способами: векторным, координатным и естественным. Некоторые задачи решаются путём комбинации нескольких способов задания движения точки (комбинированные задачи)
На практике приходится решать преимущественно прямые задачи кинематики точки. Рассмотрим примеры решения таких задач.
23
4.1. Прямолинейное равнопеременное движение точки
Пример 1. Считая посадочную скорость самолёта равной v = 400 км/ч, определить замедление его a и время торможения при посадке на пути l = 1200 м, считая, что замедление постоянно.
Решение
Рассматриваем самолёт как точку, совершающую прямоли- нейное замедленное движение.
Совместим координатную ось с траекторией точки. Начало оси поместим в начальную точку торможения, рис. 7.
Рис. 7
24
Запишем уравнение прямолинейного равнопеременного движения точки и формулу скорости:
x x0 v0t at2 ; 2
v v0 at.
Запишем начальные и граничные условия, соответственно, для моментов t = 0 и t = t1:
x 0 0; |
v 0 v0 ; |
x t1 l; |
v t1 0. |
25
Подставим эти условия в уравнение движения и в формулу
скорости:
l 0 v0t1 at12 ; 2
0 v0 at1.
Получили систему двух уравнений с неизвестными t1 и a. Решаем эту систему уравнений способом подстановки. Из второго уравнения найдём время торможения:
t1 va0 .
26
Подставим найденное время торможения в первое уравнение системы:
|
v |
|
a |
v |
2 |
v2 |
|
v2 |
|
v2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||
l 0 v |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
. |
|||
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
a |
|
2a |
|
2a |
|||
|
a |
|
a |
|
|
|
|||||||
Отсюда найдём:
a v02 . 2l
Подставим ускорение в формулу для времени торможения:
t v0 |
v0 2l |
|
2l . |
|
1 |
a |
v2 |
|
v |
|
|
0 |
|
0 |
27
Переведём скорость v0 из (км/ч) в (м/с):
v0 400 (км/ч) 400 1000 111,1(м/с). 3600
Подставим численные значения в аналитические выражения неизвестных величин:
a v02 |
|
111,12 |
5,14 (м/с2 ); |
2l |
|
2 1200 |
|
t1 2l 2 1200 21,6 (с). v0 111,1
28
4.2. Криволинейное движение точки
Пример 2. Даны уравнения движения точки:
x 2t; |
y 4t2 1(x,вyметрах; |
вt секундах). |
Определить траекторию точки, скорость и ускорение точки в момент времени t = 1 c.
Решение Из первого уравнения найдём:
t 2x . Подставим время во второе уравнение:
y 4t2 1 |
4x2 |
1 x2 |
+1. |
|
4 |
||||
|
|
29 |
||
|
|
|
Как видим, траекторией точки является парабола.
Найдём проекции скорости точки на координатные оси.
vx dx |
2; |
vy dy |
8t. |
dt |
|
dt |
|
Найдём численные значения проекций в момент времени t = 1с:
v |
x |
|
2 (м/с); |
v |
y |
|
8 (м/с). |
|
1 |
|
1 |
Определим величину скорости точки в момент времени t = 1с:
v 1 |
vx 1 2 vy |
1 2 |
22 82 |
|
68 8,25 (м/с). |
30
4.3. Решение задач
Решить самостоятельно
По данным уравнениям движения точки найти уравнение её траектории, в координатной форме и указать на рисунке направление движения.
1). x 3t 5; y 4 2t. Ответ:
Полупрямая 2x 3y 2 0 x 5; y 4.
2). x 5sin10t; y 3cos10t. Ответ:
Эллипс |
x2 |
+ |
y2 |
1 |
x 0; y 3. |
|
25 |
9 |
|||||
|
|
|
31 |
|||
|
|
|
|
|