Квант оптика

где b = 2,9·10-3 м·К - постоянная Вина.

Рис. 5.1. Спектральное распределение R (λ) при различных температурах. R (λ) представлено в условных единицах. Показана область значений λ, соответствующих видимому свету. Излучение Солнца очень близко к излучению чёрного тела при температуре 5800 К. Отмечены значения λm на кривых, соответствующих 5000 К и 6000 К.

Из закона Вина следует, что при увеличении температуры максимум излучательной способности абсолютно твёрдого тела смещается в область более коротких длин волн (высоких частот) (первый закон Вина).

Максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно чёрного тела возрастает пропорционально пятой степени температуры (второй закон Вина)

где a = 1,29·10-5 Вт/(м2·К5) .

6. Формулы Рэлея-Джинса и Вина

Релей и Джинс сделали попытку теоретически определить равновесную плотность излучения, исходя из теоремы классической статистики о равном распределении энергии по степеням свободы. С классической точки зрения это была безупречная теория. Согласно представлениям Максвелла, Релей и

11

Джинс предполагали что, источником и поглотителями электромагнитных волн в полости являются электрические осцилляторы (диполи). Равновесное состояние между «излучением» и «телом» представляет собой систему стоячих электромагнитных волн, возникающих при их отражении от стенок полости.

Стоячая электромагнитная волна.

Стоячую упругую волну можно представить как результат суперпозиции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Это относится и к электромагнитным волнам. Однако надо учесть, что электромагнитная волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно ортогональными векто-

рами E и H .

Пусть волна распространяется в положительном направлении оси Х и

Уравнения волны, распространяющейся в обратном направлении, можно получить из (11), если заменить в скобках минусы на плюсы и учесть, что

векторы E , H , k должны составлять правую тройку. Это поясняет рис. 6.1,

где слева (а) E и H меняются в фазе — волна (6.1.), а справа E и H — в противофазе (во встречной волне).

Последнее утверждение означает, что перед Em или Hm должен появиться знак минус. Тогда, уравнения встречной волны будут иметь вид:

Рис. 6.1.

В результате суперпозиции этих двух встречных волн, (6.1) и (6.2), используя формулы сложения тригонометрических функций

cosα + cosβ = 2cos α2+βcos α2−β

12

и

cosα −cosβ = −2sin α +βsin α −β : 2 2

получим:

Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны. Они состоят из двух стоячих волн — электрической и магнитной. Видно, что в этой волне

колебания векторов E и H сдвинуты по фазе на π2 как в пространстве, так и во времени. Если в некоторый момент Ey во всех точках имело максимальное значение и при этом Hz = 0 , то через четверть периода картина будет обратной: Hz достигнет всюду максимальных значений со сдвигом в пространстве на λ4 , а Ey обратится в нуль.

Таким образом, в процессе колебаний электрическое поле постепенно переходит в магнитное, магнитное — в электрическое и т. д. (рис. 2.4).

Поскольку колебания векторов E и H происходят не в фазе, известное соотношение между модулями векторов E и H

E ε0ε = H µ0µ

оказывается справедливым только для амплитудных значений Em и Hm стоячей волны:

Em ε0ε = Hm µ0µ

Рис. 6.2

С электромагнитной волной связан перенос энергии. Плотность потока энергии можно найти с помощью формулы S =wэнер v как произведение

объёмной плотности энергии wэнер на скорость волны v .

13

В обычной изотропной среде с проницаемостями ε и µ плотность энергии

электромагнитного поля равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей:

гущей волне равна плотности магнитной энергии. Поэтому (6.5) можно записать так:

показатель преломления среды.

В стоячей электромагнитной волне энергия переходит из чисто электрической, имеющей максимумы в пучностях E , в магнитную с максимумами в пучностях вектора Н , т.е. смещённым в пространстве на λ4 . Это аналогич-

но поведению гармонического осциллятора, например, математического маятника, энергия которого переходит их чисто потенциальной (в крайнем положении) в кинетическую (в положении равновесия), и наоборот. Важно по-

нять, что стоячая волна не переносит энергии.

Отметим, что если волна представляет собой наложение двух бегущих волн с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации (направле-

ниями колебаний вектора E ), то её интенсивность независимо от особенностей этих волн будет равна сумме интенсивностей складываемых волн. Дей-

скольку E1 E2 , скалярное произведение E1E2 = 0, и мы имеем I = I1 + I2 .

Это значит, что волны со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации не интерферируют.

Релей и Джинс предполагали, что на каждую стоячую волну приходится в среднем энергия ε =kT , равная двум половинкам kT - одна половинка на

электрическую, вторая - на магнитную составляющую энергии волны. Рассчитав количество стоячих волн, приходящихся на единицу объёма полости и умножив на ε =kT , получим плотность энергии, приходящуюся на интер-

вал частот dν. Используя соотношение между равновесной плотность теплового излучения и излучательной способностью чёрного тела и интегрируя по частотам, получим выражение зависимости излучательной способности чёрного тела от частоты.

Таким образом, применяя к тепловому излучению классический закон равнораспределения энергии по степеням свободы, Рэлей и Джинс получили

14

выражение для зависимости испускательной способности чёрного тела r ν,T от частоты света:

где ε =kT - средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Однако попытка получить закон Стефана-Больцмана из этой формулы

приводит к абсурдному результату Re - неограниченно растет, достигая чрез-

вычайно больших значений в ультрафиолете, — который получил название

"ультрафиолетовая катастрофа":

Рис. 6.3.

Формула Рэлея-Джинса согласуется с экспериментом только в области малых частот (больших длин волн) и больших температур.

В области больших частот хорошо описывает эксперимент формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих термодинамических представлений:

где C1 и C2 — константы.

Таким образом, исходя из классических законов, были получены две формулы описывающие излучение чёрного тела или только в области низких частот или в только области высоких частот.

7. Квантовая гипотеза Планка

Теоретическое объяснение законов теплового излучения абсолютно чёрного тела имело огромное значение в истории физики - оно привело к поня-

15

тию квантов энергии. С классической точки зрения вывод формулы Релея – Джинса является безупречным. Поэтому расхождения этой формулы с экспериментом указывало на существование каких – то закономерностей несовместимых с представлением классической физики. В 1900 году Планку удалось найти вид функции в точности соответствующей экспериментальным данным.

Макс Планк предположил, что теория классического гармонического осциллятора неприменима к атомным осцилляторам; атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определёнными порциями — квантами. Энергия одного кванта:

В механике есть имеющая размерность "энергия × время" величина, которая называется действием. Поэтому, постоянную Планка иногда называют квантом действия. Размерность h совпадает с размерностью момента импульса.

Поскольку энергия излучается порциями, то энергия осциллятора может принимать лишь определённые дискретные значения, кратные целому числу

мать равной kT , как это делал Джинс, поскольку это приводит к "ультрафиолетовой катастрофе".

В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться распределению Больцмана. Это распределение показывает, что энергии осцилляторов располагаются на шкале энергии с большей плотность там, где их энергия меньше. Вероятность pn , того, что энергия

колебания осциллятора частоты ν имеет значение εn , определяется выраже-

нием (1.13):

где Nn - число осцилляторов с энергией εn ; N - полное число осцилляторов. Если в полости, представляющей собой модель абсолютно чёрного тела, имеется N осцилляторов, то среднее значение энергии излучения ε с час-

тотой ν, приходящейся на один осциллятор

ε = ∑pnεn

n

Вычисления дают выражение для средней энергии осцилляторов:

16

Следует заметить, что при h →0 , формула переходит в классическое выражение ε =kT .

Подставив (7.4) в формулу полученную Джинсом (6.7) Планк получил универсальную функцию Кирхгофа r ν,T в виде,

Формула в виде (7.5) или в виде (7.6) носит название — формулы Планка.

В области малых частот hν<<kT (когда энергия кванта мала по сравнения с энергией теплового движения kT ) формула Планка (7.5) переходит в формулу Рэлея-Джинса (6.7). Для доказательства разложим экспоненту в знаменателе (7.5) в ряд Маклорена, ограничиваясь двумя первыми членами:

Ведём безразмерную переменную x =hνkT . Тогда ν = kTh x а dν = kTh dx .

Подставим выражения для ν и dν под интеграл, вынесем из - под знака интеграла комбинации постоянных π,c,k,T и в результате получим:

где

17

σ = 2πk4 ∞∫ xx3 dx c2h3 0 e −1

- постоянная Стефана-Больцмана. Осталось взять интеграл, который равен:

Таким образом, теоретическое значение постоянной Стефана–Больцмана можно рассчитать по формуле:

Что самое удивительное этот расчёт даёт значение постоянной Стефана-

Больцмана совпадающее с экспериментальным значением σ= 5,7·10-8 Вт/(м2

К4).

Закон смещения Вина получается при анализе формулы Планка (7.6) на экстремум. Для этого возьмём производную от правой части формулы (7.6) и приравняем её нулю.

Введя обозначение x =hc(kT λ), получим уравнение: xex −5(ex −1)= 0

Решение этого трансцентдентного уравнения методом последовательных приближений даёт x = 4,965. Следовательно x =hc(kT λ)= 4,965 , откуда:

Таким образом, формула Планка обобщает все законы теплового излучения и является полным решением основной задачи теории теплового излучения.

8. Фотоэффект

При взаимодействии электромагнитного излучения с материальной средой, состоящей из атомов, могут происходить различные явления, в общем случае зависящие от энергии падающего излучения.

Облучение вещества высокоэнергетическими гамма-квантами сопровождается образованием пары электрон-позитрон. Превращение фотона в элек- трон-позитрон пару происходит преимущественно в поле ядер тяжёлых элементов. Минимальная энергия фотона, способного превратиться в пару элек- трон-позитрон, определяется массами покоя электрона и позитрона и энергией отдачи ядра (кинетическая энергией, приобретаемая ядром). Она равна

18

гия, соответствующая массе покоя электрона (позитрона). Избыток энергии фотона идет на сообщение кинетической энергии электрону и позитрону. Ес-

ли образование пары происходит в кулоновском поле, то Emin = 4mec2 , но ве-

роятность этого процесса мала по сравнения с рождением пары поле ядра. При упругом столкновении фотона со свободным электроном (эффект

Комптона) часть его энергии передаётся электрону, при этом возникает рассеянный фотон с меньшей частотой. Наиболее быстрые электроны вылетают вперёд, по направлению первичного фотона. Им соответствуют рассеянные назад фотоны с наибольшим изменением частоты. Экспериментальные наблюдения эффекта Комптона ведутся при облучении мишени жёстким рентгеновским излучением ( λ = 0,2 Å, энергия фотона 6·104 эВ). Для лёгких атомов и внешних электронов тяжёлых атомов энергия связи электрона (~ 4 ÷ 25 эВ), поэтому этой энергией можно пренебречь по сравнению с энергией фотона рентгеновского излучения и считать электрон свободным. Для не слишком жёстких рентгеновских лучей электрон получает сравнительно малую часть энергии фотона.

Фотоэлектрический эффект возникает при столкновении фотона со связанными электронами (электронов в индивидуальных атомах, твёрдых телах и жидкостях). При этом фотон передаёт электрону свою энергию, т.е. фотон поглощается атомом, и электрон может приобрести энергию порядка энергии самого фотона. Энергия фотона в видимой и примыкающей к ней ультрафиолетовой области спектра сравнима с работой выхода электронов проводимости чистых металлов (несколько электрон-вольт). В зависимости от того, остаются ли электроны в данной среде или выходят из неё через границу разде-

ла с другой средой, различаю фотоэффект внутренний или внешний.

Внутренний фотоэффект хорошо заметен в конденсированных средах и газа, если в них присутствует мало электронов, обеспечивающих электропроводность. В качестве примера внутреннего фотоэффекта можно назвать понижение электрического сопротивления полупроводника при падении на его поверхность светового потока. Фоторезистивный эффект наблюдал впервые, в 1873 У. Смит (США) в селене. Внутренний фотоэффект положен в основу работы обширного класса полупроводниковых приёмников светового излучения. К ним относятся фоторезисторы, фотодиоды, фототранзисторы и др.

Внешний фотоэффект представляет собой испускание электронов, которое происходит в вакуум или в другую среду при падении светового потока на поверхность твёрдого тела или жидкости. Внешний фотоэффект был обнаружен в 1887 г. немецким физиком Г. Герцем.

Экспериментальные исследования фотоэффекта были выполнены А.Г. Столетовым, В. Гальваксом, П. Ленардом и др. Теоретическое объяснение законов фотоэффекта дал А. Эйнштейн (1905г.). За работы в области теоре-

19

тической физики и, в частности, за открытие закона фотоэлектрического эффекта А. Эйнштейну в 1921 г. была присуждена Нобелевская премия.

Гипотеза Планка, о квантовой природе излучения, блестяще решившая задачу теплового излучения чёрного тела, получила дальнейшее развитие при объяснения фотоэффекта. Исследование этого эффекта сыграло важнейшую роль в становлении квантовой теорию.

8.1. Схема для исследования внешнего фотоэффекта

Два электрода (катод К из исследуемого металла и анод А) в вакуумной трубке подключены к батарее так, что можно изменять не только значение, но и знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим светом (через кварцевое окошко) измеряется включенным в цепь миллиамперметром (Рис. 1).

Зависимость фототока электронов Ie , испускаемых катодом под действи-

ем света, от напряжения U между катодом и анодом называется вольт-

амперной характеристикой фотоэффекта.

При описании внешнего фотоэффекта используется следующая терминология. Свободные электроны, вышедшие под действием светового излучения из кристаллической решётки твердого тела в вакуум, называются фотоэлектронами, а электрод, из которого они выходят фотокатодом. Если рядом с фотокатодом поместить другой электрод (анод), к которому приложен положительный потенциал, то во внешней цепи потечёт электрический ток. Существуют более сложные вакуумные приборы, использующие фотокатоды в качестве источника свободных электронов. К ним относятся фототриоды, фотоэлектронные коммутаторы, фотоэлектронные умножители, электроннооптические преобразователи.

Рис. 8.1.

20