Тема 4.2. Размещения и перестановки

Выясним, сколько всего подмножеств имеет множество с.

Теорема. Число всех подмножеств множества из элементов равно т.е.

Доказательство:Перенумеруем элементы множестваи для каждого подмножествапостроим последовательность длиныиз нулей и единиц по следующему правилу: на- ом месте пишем 1, если элементи пишем 0, если. Итак каждому подмножеству будет соответствовать своя последовательность из нулей и единиц. Например, пустому множествусоответствует последовательность из одних нулей, а самому множеству– последовательность из одних единиц. Ясно, что справедливо и обратное утверждение: каждой последовательности из множествапоследовательностей длиныиз нулей и единиц соответствует одно подмножество. Таким образом, между множествамииустановлено взаимно однозначное соответствие. Следовательно, эти множества эквивалентны и как конечные множества имеют одинаковое количество элементов, т.е . Но .Теорема доказана.

Следствие. Справедливо равенство

поскольку число- элементных подмножеств множества изэлементов, то сумма в левой части есть число всех подмножеств.

Определение. Упорядоченные- ки (кортежи длины), содержащие все элементы множестваназываютсяперестановкамиэтого множества. Другими словами, перестановки – это комбинации или соединения изэлементов, содержащие все элементы, и которые считаются различными, если отличаются порядком элементов.

Пример 4.3:Пользуясь определением составить все перестановки множества

Решение:Всего шесть перестановок.

Теорема. Если через обозначить число всех перестановок множества, то .

Доказательство:Будем последовательно выбирать элементы множестваи размещать их в определённом порядке наместах. На первое место можно поставить любой изэлементов. После того как заполнено первое место, на второе место можно поставить любой изоставшихся элементов и т.д. По принципу умножения всемест можно заполнить и получить в результате перестановкуспособами. Теорема доказана.

Определение.Перестановки- элементных подмножеств множестваназываютсяразмещениямиизэлементов поэлементов. Другими словами, размещения изэлементов по- это комбинации или соединения, содержащиеразличных элементов, и которые считаются различными, если отличаются либо своими элементами, либо порядком элементов.

Пример 4.4:Пользуясь определением составить все размещения из 3 по 2 для множества.

Решение:Выписываем все двухэлементные подмножестваи для каждого из них – все перестановки. Получаем искомые размещениявсего шесть размещений.

Теорема.Если через обозначить число всех размещений из по элементов множества , то .

Доказательство:В соответствии с определением размещений рассмотрим действие из двух этапов, приводящее в результате к получению размещения изпо. Первый этап: образование- элементного подмножества,, второй этап: образование перестановки в полученном на первом этапе- элементном подмножестве,Тогда, согласно принципу умножения, имеем Теорема доказана.

Пример 4.5:Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах?

Решение:Искомое число способов равно .

Определение: Упорядоченные- ки, содержащиераз элемент, причёмназываютсяперестановками с повторением.

Пример 4.6:Для множествасоставить все перестановки с повторением, если.

Решение:Пользуясь определением, получаем три перестановки с повторением.

Теорема: Если обозначить через число всех перестановок с повторением, то

Доказательство:Рассмотрим действие изэтапа. Первый этап: образование перестановки с повторением; второй этап: в полученной перестановке с повторением заменим все элементы разными элементами из множестваи произведём перестановку их, . Третий этап: в перестановке с повторением заменим все элементы разными из оставшихся элементов множества и произведём перестановку их, Последний- ый этап: в перестановке с повторением заменим все элементы разными из оставшихся элементов множества и произведем перестановку их, . В результате описанного действия получатся все перестановки из различных элементов, т.е. таких перестановок. Теперь, согласно принципу умножения, имеем

откуда

Теорема доказана.

Пример 4.7:Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика»?

Решение:Искомые слова представляют собой перестановки с повторением (– количество букв в слове) из элементов-букв множествапричём . Следовательно, их число равно .