Раздел 4. Комбинаторные объекты Тема 4.1. Сочетания

Пусть задано конечное множествомощности. Обозначим черезмножество всех- элементных подмножеств множества.

Теорема: Число всех - элементных подмножеств множества вычисляется по формуле

Доказательство:Будем строить- элементные подмножества множествадействием из двух этапов. На первом этапе построим- элементное подмножество, тогда число способов осуществления первого этапа будет равно. На втором этапе к полученному- элементному подмножеству присоединим один изэлементов множества, которые не входят в это подмножество; ясно, что. Значит, согласно принципу умножения, в результате описанного действия получим- элементных подмножеств. Но не все они будут разными, так как каждое- элементное подмножество можно так построитьспособами: присоединением каждого изего элементов к остальнымего элементам. Поэтому найденное число враз больше, чем число- элементных подмножеств множества. Следовательно,Отсюда находим

Но число одноэлементных подмножеств множества равнот.е.. Следовательно,

Теорема доказана.

Определение:Произвольное- элементное подмножество множества изэлементов в комбинаторике называетсясочетаниемизэлементов поэлементов. Порядок элементов в подмножестве не имеет значения, поэтому часто вместо слова «сочетание» употребляется терминкомбинацияили соединение изэлементов поэлементов, которые отличаются, по крайней мере одним элементом, но не порядком элементов.

Пример 4.1:Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Решение:Чтобы определить все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные трёхэлементные подмножества множества, состоящего из семи элементов. Следовательно, искомое число способов равно

Пример 4.2:Рассмотрим на плоскости с декартовой прямоугольной системой координат «шахматный город», состоящий изпрямоугольных кварталов, границами которых являются частигоризонтальных ивертикальных улиц. Требуется определить число различных кратчайших путей в пределах этого города, ведущих из левого нижнего угла (точки) в правый верхний угол (точку).

Решение:Каждый кратчайший путь из точкив точкусостоит изотрезков, причём среди них естьгоризонтальных ивертикальных отрезков. Разные пути отличаются лишь порядком чередования горизонтальных и вертикальных отрезков. Поэтому искомое число путей равно числу способов, которыми изотрезков можно выбратьотрезков, т.е.или числу способов, которыми изотрезков можно выбратьотрезков, т.е.. Итак, число кратчайших путей равно

Замечание:Заметим, что полученное равенство установлено при решении геометрической задачи. Заметим так же, что рассмотренный пример даёт интересную геометрическую интерпретацию для чисел.

Определение:Сочетаниями с повторениями, содержащимиэлементов, выбранных изэлементов заданного множества, называются всевозможные множества изэлементов, отличающиеся хоть одним элементов (порядок не учитывается), при этом допускается неединичное вхождение элементов. Обозначаем.

Теорема: Число

Доказательство:Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора. Нам не важен порядок номеров элементов множества, то есть мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе изэлементов появился элемент номер 1, элемент номер 2, … , элемент номер. То есть результат выбора можно представить набором чисел, в котором– число появлений элемента номерв выборке, и. При этом два результата эксперимента различны, если соответствующие им наборыне совпадают.

Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты (и, следовательно, их столько же). Есть ящиков, в которых размещаетсяшариков. Нас интересует только количество шариков в каждом ящике. То есть, результатом эксперимента снова является набор чисел, в котором– число шариков в ящике с номером, и. Числапо-прежнему принимают натуральные значения или равны 0.

Атеперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а кружки – находящиеся в ящиках шарики:

Мы видим результат размещения 9 шариков по 7 ящикам. Здесь 1-й ящик содержит 3 шарика, 2-й и 6-й ящики пусты, 3-й ящик содержит 1 шарик, и в 4-м и 5-м ящиках есть по 2 шарика. Переложим один шарик из первого ящика во второй и изобразим таким же образом ещё один результат размещения:

И ещё один:

Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шарики и перегородки, или расставляяшариков наместе. Числополучается так: уящиков есть ровноперегородка, считая крайние, илиперегородка, если не считать крайние, которые двигать нельзя. И естьшариков. Перебрав все возможные способы расставитьшариков на этихместах (и ставя на оставшиеся места перегородки), переберём все нужные размещения.

Но способов расставить шариков наместах ровно– это в точности число способов выбрать изномеров местномеров мест, на которые нужно поместить шарики. Заметим, что равенствоверно в силу того, что можно вместо выборамест для шариков выбиратьместо для перегородок ящиков, заполняя шариками оставшиеся места.