Тема 13.2. Способы задания графов

Пусть – вершины графа, а– его дуги или рёбра. Существуют различные способы задания графов:

• матрицей смежности;

• матрицей инцидентности;

• перечислением упорядоченных или неупорядоченных пар смежных вершин;

• заданием множества вершин графа, и способа отображения множества в множество.

Матрица смежности для неориентированного графа - это бинарная матрица, размерностью, такая что:

Пример 13.2:

Матрица смежности для ориентированного графа - это матрица, размерностью, такая что:

Пример 13.3:

Матрица инцидентности для неориентированного графа - это бинарная матрица, размерностью, такая что:

Матрица инцидентности для ориентированного графа - это матрица, размерностью, такая что:

Тема 13.3. Отношения порядка и эквивалентности на графе

Граф даёт удобное геометрическое представление отношений на множестве. Будем считать, что на графе введено отношение порядка, если для любых двух вершини, удовлетворяющих условию, существует путь изв. В этом случае говорят, что вершинапредшествует вершине, или чтоследует за вершиной. Покажем, что данное определение отражает на графе все свойства отношения порядка.

Рефлексивность: Условие– истинно. Это означает эквивалентность вершины самой себе. Однако, при желании, это условие можно рассматривать как наличие петли в вершине.

Транзитивность: Условие «еслии, то» означает, что вершины последовательно встречаются на одном и том же пути.

Антисимметричность:«еслии, то». Левая часть этого выражения говорит о том, что существует путь изви путь изв. Т.о. в графе существует контур, на котором лежат вершиныи. Из правой части свойства вытекает, что вершины лежащие на одном контуре – эквивалентны. Будем рассматривать этот вывод, как определение отношения эквивалентности на графе и покажем, что такое определение удовлетворяет всем условиям отношения эквивалентности.

Рефлексивность: Условие– вытекает из определения отношения эквивалентности. Всегда можно считать, что существует путь извдлины 0.

Транзитивность: Условие «еслии, то» так же очевидно, так как если в графе есть контур, содержащий вершиныи, и есть контур, содержащийи, то существует контур, содержащий вершиныи.

Симметричность: Условие «если, то» так же очевидно и вытекает из определения отношения эквивалентности и понятия контура графа.

Таким образом, отношения порядка и эквивалентности определяют некоторый связный граф.

На графе может быть также введено отношение строгого порядка. В этом случае для любых двух вершин и, удовлетворяющих условию, существует путь, идущий изв. В этом случае условие антирефлексивности означает отсутствие петель, а условие несимметричности говорит об отсутствии контуров. Т.о. отношение строгого порядка определяет граф без петель и контуров.

Тема 13.4. Числовые характеристики графа

Определение: Пусть– неориентированный граф, имеющий– вершин,– рёбер и– компонент связности.Цикломатическим числом графаназывается.

Это число имеет интересный физический смысл – оно равно наибольшему числу независимых циклов в графе. При расчёте электрических цепей цикломатическим числом можно пользоваться для определения числа независимых контуров. Ещё одно свойство – это число показывает, какое наименьшее число рёбер надо удалить, чтобы получить граф без циклов.

Определение:Множествографаназываетсявнутренне устойчивым, если никакие две вершины изнесмежны, т.е. для.

Определение:Множество внутренней устойчивости, содержащее наибольшее число элементов, называетсячислом внутренней устойчивостиграфа.