Тема 11.5.Методы упрощения логических выражений. Методы решения логических задач

Рассмотрим пример решения логической задачи.

Пример 11.2:

После обсуждения состава участников экспедиции решено, что должны выполняться два условия:

• если поедет Арбузов, то должны ехать Брюквин или Вишневский;

• если поедут Арбузов и Вишневский то поедет Брюквин.

Составить логическую формулу принятия решения в символической форме, упростить полученную формулу и сформулировать по ней новое условие формирования экспедиции.

Введём переменные и соответствующие им элементарные высказывания.

- поедет Арбузов;

- поедет Брюквин;

- поедет Вишневский.

Тогда выработанные условия формирования экспедиции будут выглядеть следующим образом:

• 

• 

Составим общую формулу и упростим выражение

т.е. если поедет Арбузов, то поедет Вишневский.

Пример 11.3:

Если завтра будет хорошая погода, то мы пойдем на пляж или поедем в лес. Составим формулу нашего поведения на завтра.

– хорошая погода

– мы пойдем на пляж

– мы поедем в лес

Теперь построим отрицание этой фразы

т.о. получим высказывание «Завтра будет хорошая погода, и мы не пойдем в лес и на пляж».

Желающие могут построить таблицу истинности и проверить это утверждение.

Пример 11.4:

По подозрению в совершенном преступлении, задержаны Браун, Джон и Смит. Один из них уважаемый в городе старик, второй чиновник, а третий известный мошенник. В ходе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом лгал.

Вот что они говорили:

Браун: «Я совершил это. Джон не виноват»

Джон: «Браун не виноват. Преступник Смит»

Смит: «Я не виноват. Виноват Браун»

Опишем эти высказывания формально:

- преступление совершил Браун;

- преступление совершил Джон;

- преступление совершил Смит.

Тогда их слова описываются следующими выражениями:

Браун:

Джон:

Смит:

Т.к. по условиям задачи две из этих & ложны и одна истинна, то

Составим таблицу истинности

NN
1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	0	1
3	0	1	0	0	0	0	0
4	0	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	1	0	1	1
6	1	0	1	1	0	0	1
7	1	1	0	0	0	1	1
8	1	1	1	0	0	0	0

Исключим из рассмотрения те наборы, на которых (по условию задачи одна из & - истинна, следовательно,) 1, 3, 8

Исключим случай 5, т.к. в нем две & истинны, что противоречит условию задачи.

В случаях 4, 6, 7 у нас в начальном наборе две 1 , т.е. 2 преступника, а по условию задачи он один.

Остаётся только случай 2 , т.е. преступник Смит, и оба его высказывания ложны.

следовательно– ложно и- истинно

– Джон уважаемый старик

Остаётся, что Браун чиновник, и поскольку – ложно , то– истинно.

Пользуясь законами и тождествами булевой алгебры можно упрощать логические выражения.

Пример 11.5:

Упражнение:

Раздел 12. Логика предикатов Тема 12.1.Определение предиката

Утверждения, которые можно сформулировать с помощью средств логики высказываний всегда относятся к конкретным свойствам конкретных предметов, объектов, ситуаций. Мы уже сталкивались с примерами таких утверждений: «Сегодня идёт дождь», «Вася любит Олю», «Если А – преступник, то В – не виновен», «Если цена на нефть растёт и страна продаёт нефть, то растут и доходы её бюджета» и т.п. Эти утверждения строятся из элементарных высказываний с помощью логических операций. Например, последнее из приведённых утверждений может быть формально записано как .

где ,и– это переменные, обозначающие, соответственно, высказывания «цена на нефть растёт», «страна продаёт нефть» и «растут и доходы бюджета».

Для того, чтобы высказывать более общие точные утверждения о свойствах классов (множеств) объектов, предметов, ситуаций, нужен более богатый формальный язык. Им является язык логики предикатов.

Прежде, чем переходить к формальным определениям, приведём некоторые содержательные примеры используемых понятий: объектов, свойств, отношений и операций (функций).

Объекты: люди, предприятия, числа, цвета, футбольные матчи, экзамены, дома, столы, компьютеры, фигуры, студенты, ...

Свойства: зелёный, тяжёлый, голубоглазый, победный, девятиэтажный, деревянный, отличник, ...

Отношения: «... является братом ...», «... занимает должность ... с зарплатой ...», «... больше чем ...», «... находится внутри ...», «... любит ...», «... имеет цвет ...», «... случится после ...», «... владеет ...», и т.п.

Функции: «отец ...», «лучший_ друг ...», «вдвое_больший_ чем ...», «сумма ... и ...», «группа_студента ...», «самый_любимый_кинофильм ...», ...

В примерах отношений и функций многоточиями отмечены места, где должны стоять объекты, к которым они относятся.

Даже этих небольших перечислений достаточно, чтобы понять, что язык логики предикатов позволяет описать почти любой факт и сформулировать нужное утверждение о той или иной рассматриваемой предметной области. Вот несколько простых примеров:

«Предикат» с английского переводится как сказуемое. Но говорить «логика сказуемых» – себя не уважать. Формально предикатом называется функция, аргументами которой могут быть произвольные объекты из некоторого множества, а значения функции «истина» или «ложь». Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.

Пример 12.1:

Вместо трёх высказываний: «Маша любит кашу», «Даша любит кашу», «Саша любит кашу» можно написать один предикат: «Икс любит кашу» и договориться, что вместо неизвестного Икс могут быть либо Маша, либо Даша, либо Саша. Подстановка вместо Икс имени конкретного ребёнка превращает предикат в обычное высказывание.

Определение:Пусть– произвольные переменные. Эти переменные будем называтьпредметными. Пусть наборы переменныхвыбираются из множества, которое будем называтьпредметной областью. Предикатом местности(- местным предикатом), определённым на предметной области, называют отображение множестваво множество высказываний.

Обозначение: –- местный предикат, определённый на.

Дадим другое определение предиката.

Определение: - местный предикат– это связное повествовательное предложение, содержащеепеременных и обладающее следующим свойством: при фиксации значений всех переменных о нём (предложении) можно сказать, истинно оно или ложно.

Пример 12.2:

а). = «Натуральное числоделится (без остатка) на натуральное число» – двуместный предикат, определённый на множестве пар натуральных чисел.

Очевидно ,.

б). – одноместный предикат, определённый на.

Ясно, что ,и вообще предикат– тождественно ложен, т.е. при любом значениеполучим.

в). – трёхместный предикат, определённый на.

,

Определение:Пусть–-местный предикат, определённый на.–множество ложности предиката. (т.е. множество ложности предиката– это множество тех, при которых значение истинности предиката равно нулю).

– множество истинности предиката. (т.е. множество истинности – это множество тех, при которых значение истинности предиката равно 1).

Определение:Предикат, определённый на, называетсятождественно истинным, если его значение истинности равно единице при всех возможных значениях (или, коротко,); тождественно ложным, если его значение истинности равно нулю при всех возможных значениях(или, коротко,); нетривиально выполнимым, если его значения истинности могут быть равными как единице, так и нулю (или, коротко,;.

Пример 12.3:

Изобразим в предикат

Поверхность и внутренность изображенного параболоида вращения – множество истинности предиката (т.к. значения; внешность параболоида – множество ложности(т.к..