35 Расстояние от точки до плоскости

26 Расстояние от точки до плоскости.

ТЕОРЕМА 26.1. Пусть плоскость , задана своим общим уравнением относительно ПДСК, а  --- произвольная точка пространства. Тогда расстояние от точки  до плоскости  вычисляется по формуле

Доказательство. Пусть  --- произвольная точка плоскости . Тогда расстояние от точки  до плоскости  равно модулю ортогональной проекции вектора  на ось вектора , перпендикулярного к этой плоскости . По формуле  (раздела "Векторная алгебра") имеем  Учитывая, что  и используя координатную форму скалярного произведения, получим Для завершения доказательства осталось заметить, что , так как справедливо равенство . Теорема доказана. Используя доказанную теорему вычислим расстояние между двумя параллельными плоскостями  и , заданными своими уравнениями относительно ПДСК. Пусть  --- произвольная точка плоскости . Тогда  С другой стороны,  Учитывая вышесказанное приходим к формуле

27 Угол между плоскостями.

Определение 27.1. Любой из двух смежных двугранных углов, полученных при пересечении двух плоскостей называется углом между этими плоскостями. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и пусть в этой системе координат даны уравнения двух плоскостей Найдем угол между этими плоскостями. Согласно определению 27.1. угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Так как нормальными векторами данных плоскостей являются векторы  и , то отсюда получается формула

Из  получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями относительно ПДСК: