, , , ;

- обратные тригонометрические функции

, , , .

Еслиy является функцией переменнойu, а uфункционально зависит от переменнойx, тоyтак же зависит отx. Пустьи, тогданазываетсяфункцией от функции иликомпозицией функций. При этомx –независимая переменная(аргумент),u – промежуточный аргумент. Промежуточных аргументов может быть несколько. Так, например, функцияпоследовательно состоит из степенной, обратной тригонометрической, показательной и дробно рациональной (рациональная комбинация степенных функций) и у нее можно указать три промежуточных аргумента.

Функции, образованные из основных элементарных функций и констант при помощи конечного числа арифметических действий и конечного числа действий взятия функции от функции называются элементарными функциями.Функции, построенные по приведенному правилу, могут выглядеть сколь угодно сложно, но при этом они будут оставаться элементарными функциями.

Ранее при аналитическом задании функции предполагалось, что функциональная связь между аргументом x и функциейy задается в виде разрешенном относительноy, когда в левой части уравнения связи стоитy, а переменнаяx и совокупность действий над ней стоят в правой части: . Такое задание функциональной связи называютявным.Если же связь междуx иy задается в виде, не разрешенном относительноy: , то такое задание зависимости между функциейy и аргументомx называютнеявным и говорят, что в этом случаефункция y задана неявно. В анализе имеются приемы, приспособленные к изучению функций заданных неявно.

5. Предел функции

Определение 5.1.Числовой функцией n действительных переменных на множестве называется отображение видамножестваGв множество действительных чиселR, сопоставляющее каждой точкенекоторое действительное число

Функция называетсяограниченной сверху (снизу)на множестве, если множество ее значений на этом множестве ограничено сверху (снизу), т.е. существует числотакое, чтодля всехОграниченная сверху и снизу функция называется ограниченной. Ограниченностьна множествеGравносильна существованию числатакого, чтопри всехДалее, функциюбудем называтьограниченной в точкеесли имеется такая окрестностьв пределах которойограничена.

Пусть функция задана в некоторой проколотой окрестности точки.

Определение 5.2.ЧислоАназываетсяпределом функциив точке(при), если для любогонайдетсятакое, чтопри всехиз проколотой- окрестноститочки

Для обозначения предела Афункциив точкеиспользуется записьили. С помощью математической символики определение 5.2 запишется в следующем виде:

Понятие предела функции nпеременных, сформулированное на языкеможет быть еще определено на языке последовательностей.

Определение 5.3.ЧислоАназываетсяпределомфункции в точке, если для любой сходящейся кпоследовательностиэлементы которой отличны от, соответствующая последовательностьзначений функции сходится кА.

Теорема 5.1.Определения 5.2 и 5.3 предельного значения функции эквивалентны.

Доказательство.1) Пусть числоАявляется пределом функциив точкев смысле определения 5.2. Докажем, что это же число является предельным значениемв точкеи в смысле определения 5.3. Пусть- любая сходящаяся кпоследовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от. Требуется доказать, что соответствующая последовательностьзначений функции сходится к числуА. Фиксируем любоеСогласно определению 5.2 для этогонайдетсятакое, чтопри всех значениях аргумента. Так как последовательностьсходится к точке, то для указанногосуществует номертакой, чтопри всех. Следовательно,при всех, а это и означает сходимость последовательностик числуА.

2) Пусть теперь число Аявляется предельным значениемв точкев смысле определения 5.3. Докажем, что это же числоАявляется пределом функциии в смысле определения 5.2. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого положительного числане найдется числа, указанного в определении 5.2, т.е. для этогои любогосуществует хотя бы одно значение аргументатакое, что, но. В силу сказанного мы можем взять последовательностьи утверждать, что для каждого ее членанайдется хотя бы одно значение аргументатакого, что

, (5.1)

но

. (5.2)

Условие (5.1) означает, что последовательность сходится к точке. Действительно, для любогоможет указать номертакой, чтоипри всех. Но тогда согласно определению (5.3). соответствующая последовательностьзначений функции сходится к числуА, а этому противоречит условие (5.2), справедливое для всех номеровm. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пусть функция задана в окрестности элемента.

Определение 5.4.ЧислоАназываетсяпределом функциипри если для любогонайдетсятакое, что при всехвыполняется условие.

Из определений 5.2 и 5.4 непосредственно вытекает, что предел постоянной равен ей самой. В самом деле, если то для любогопри всех значениях аргументавыполняется условие

Определение 5.5.Говорят, чтоесли для любогосуществуеттакое, чтопри всех.

Рассмотрим случай функции одной переменной. Пусть функция задана в левосторонней (правосторонней) окрестности точки а, т.е. в интервалегде

Определение 5.6.ЧислоА называетсялевосторонним (правосторонним) пределомфункциив точкеа, если для любогонайдетсятакое, чтопри всех(при всех).

Левосторонний предел обозначается символом илиа правосторонний предел – символомилиЛевосторонний и правосторонний пределы носят название односторонних пределов. Из определений 5.2. и 5.6. непосредственно вытекает.

Теорема 5.2.Функцияодной переменной в точкеаимеет пределАтогда и только тогда, когда в этой точке существуют оба односторонних предела, равных числуА.

Заметим, что числовую последовательность можно рассматривать как функцию одной переменной, заданную на множестве натуральных чисел. Поэтому все свойства пределов функции одной переменной остаются верными и для числовых последовательностей.