2. Переменная величина. Функция.

Переменной величинойназывается величина, участвующая в процессе, которая на протяжении процесса принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой на протяжении процесса не меняются, называетсяпостоянной величиной. В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной величины, у которой все численные значения на протяжении процесса одинаковы. Переменные величины будем обозначать буквамиx, y, z,..., постоянные величины – буквамиa, b, c,...

Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной. Различают следующие области изменения переменной величиныx .

Открытый промежуток илиинтервал – совокупность всех чиселx, заключенных между числамиa иb (a<b), при этом сами числа a иbне принадлежат рассматриваемой совокупности. Интервал обозначают так:(a,b), что с помощью неравенств означаетa<x<b. Принадлежность точкиx к данному интервалу будем обозначать при помощи символа включения . Записиозначает, что точкаxявляется одной из точек открытого интервала.

Замкнутый интервал илиотрезок – совокупность всех чиселx, заключенных между числамиa иb , причем оба числа a иb принадлежат рассматриваемой совокупности. Отрезок обозначают так:

или с помощью неравенствaxb, или.

Полузамкнутый промежуток – это такой промежуток, когда одно из ограничивающих промежуток чисел присоединяется к промежутку, а другое – нет. Тогда имеем (a,b] или [a,b), чему соответствуют неравенстваa<xb иax<b.

Если переменная x принимает всевозможные значения, большие чемa, то такой интервал обозначают(a, ), чему соответствуют неравенстваa<x. Рассматриваются так же бесконечные интервалы и полузамкнутые бесконечные интервалы, задаваемые неравенствами

,,,.

Интервал длины 2lс центром в точкеaназываетсяl – окрестностью точки a. Координатыx точек, принадлежащихl – окрестности точкиa, удовлетворяют неравенствам

Часто в прикладных дисциплинах, а, следовательно, и в математике, приходится рассматривать изменение одной переменной величины в зависимости от изменения другой (других) переменной величины. Например, путь, пройденный телом, зависит от времени движения; площадь круга зависит от радиуса окружности .

Если каждому значению переменной x из области ее изменения, соответствует одно определенное значение переменнойy, то говорят, чтоyестьфункция переменнойx. Функцией называетсяправило, по которому значениям независимой переменнойxсоответствуют (находятся) значения рассматриваемой зависимой переменнойy. Независимая переменная x в этом случае называетсяаргументом, а зависимая переменнаяy – функцией, при этом пишут .

Совокупность значений независимой переменной x для которых функцияy имеет определенные действительные значения называетсяобластью определения (существования) функции. Основными препятствиями к существованию функции в каких-либо точках служат: невозможность деления на ноль; отсутствие корня четной степени из отрицательного числа; отсутствие логарифма не положительного числа.

Основные способы задания функциональной связи: аналитический (когда связь между y иx задается формулой), графический и табличный. У каждого из этих способов имеются свои преимущества и недостатки. Преимущественным способом задания функции в математическом анализе является аналитический способ задания, основным достоинством которого является компактность задания и основным недостатком – отсутствие наглядности в поведении функции, которое искупается приспособленностью аналитического способа задания к методам математического анализа исследования поведения функций и построения графиков. Графический способ задания является самым наглядным способом задания функции. На графике видны все элементы поведения функции (точки экстремума, точки пересечения с осями координат, интервалы монотонного поведения функции и др.).

Функции, которые изучались в курсе элементарной (школьной) математики называются основными элементарными функциями. Это следующие функции:

- степенная функция , гдеk – действительное число;

- показательная функция ,гдеи;

- логарифмическая функция , гдеи;

- тригонометрические функции