Лекции. Математика / Сем1_лекция 1

(4.1)

для любых . Если - один из номеров , например , то утверждение теоремы очевидно. Достаточно взять соответствующий коэффициент (в нашем случае ) равный 1, а остальные коэффициенты равными нулю.

Пусть теперь отличен от . Составим матрицу

из элементов, стоящих на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами . Определитель этой матрицы равен нулю. Действительно, если равно одному из , то в матрице два одинаковых столбца, а определитель такой матрицы равен нулю. Если же все столбцы разные, то перестановкой строк и столбцов матрицу можно преобразовать в такую, определитель которой есть минор порядка r+1 матрицы . Разложив этот равный нулю определитель по столбцу с номером , получим равенство.

(4.2)

где буквой А с различными индексами обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов в матрице . Указанные алгебраические дополнения не зависят от номера , так как они расположены в столбцах с номерами . Поскольку , где - базисный минор матрицы , то и мы можем переписать (4.2) в виде (4.1), где , . Теорема доказана.

Теорема 4.2. (о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в этой матрицы.

Доказательство проведем для строк (для столбцов доказательство аналогично). Если rаngА=0, то все строки нулевые и нет ни одной линейно независимой строки. Пусть rangА=r>0. Покажем, что в матрице А существует r линейно независимых строк. Действительно, составим из элементов матрицы А квадратную матрицу порядка r, определителем которой является базисный минор. Пусть этот минор расположен в строках с номерами и столбцах с номерами . Если строки матрицы , в которых расположен базисный минор, были бы линейно зависимы то существовали такие числа , не все равные нулю, что для любого и, в частности, для выполнялось равенство

. (4.3)

Но из (4.3) вытекает линейная зависимость строк матрицы и как следствие (в силу теоремы 2.5) равенство нулю базисного минора.

Докажем теперь, что при любые строк матрицы линейно зависимы. Составим матрицу из этих строк. Ранг не превосходит r, так как каждый минор матрицы является минором матрицы А и, следовательно, в нет отличного от нуля минора порядка, большого чем r. Но , поэтому rang и хотя бы одна строка матрицы не входит в ее базисный минор. По теореме о базисном миноре эта строка линейно выражается через остальные и, следовательно, на основании предложения 1.1 любые строк матрицы линейно зависимы. Таким образом, rang совпадает с максимальным числом линейно независимых строк в этой матрице.

В теореме 2.5 утверждалось, что определитель матрицы, строки (столбцы) которой линейно зависимы, равен нулю. Из теоремы о ранге матрицы следует обратное утверждение.