Смешанное произведение трех векторов
Произведение
векторов
,
когда два вектора
и
множатся векторно, а результат их
произведения (вектор
)
множится скалярно на вектор
,
называетсясмешанным
или скалярно
векторным произведением
трех векторов.
Свойства смешанного произведения:
1. Координатная форма смешанного произведения представляет собой определитель третьего порядка, у которого последовательно по строкам стоят координаты векторов-сомножителей:
.
2. Операции скалярного и векторного умножения в смешанном произведении можно менять местами, а тогда знаки векторного и скалярного умножения в смешанном произведении можно опустить:
.
При
этом во втором случае, согласно определению
смешанного произведения, сначала вектора
и
множатся векторно, а результат их
произведения (вектор) множится на вектор
скалярно.
3. При перестановке двух сомножителей в смешанном произведении оно меняет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину:
.
Геометрический смысл смешанного произведения.
Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов численно равна объему параллелепипеда, построенному на этих векторах:
.
Если перемножаемые векторы компланарны, то в параллелепипеде будет отсутствовать одно измерение и объем параллелепипеда и соответственно смешанное произведение трех векторов, будет равно нулю.
Условия взаимного расположения векторов
Рассматриваемые здесь условия будут постоянно использоваться далее в аналитической геометрии при составлении уравнений геометрических образов. В разделе векторной алгебры эти условия разбросаны по разным параграфам. Для более простого пользования этими сведениями сконцентрируем их в этом параграфе.
Условие коллинеарностидвух векторов:
|
|
.
Т. о., если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
2. Условие ортогональностидвух векторов:
.
3. Условие компланарноститрех векторов:
-
компланарны
.