Векторы и действия с ними Основные определения

Величина, полностью определяемая своим численным значением, называется скалярной величиной или скаляром.

Величина, определяемая кроме численного значения еще и направлением действия, называется векторной величиной. Схематически вектор – направленный отрезок определенной длины.

В

A

Когда вектор хотят задать точками начала и конца вектора, то вектор обозначают (направление от точкиА к точке В), когда достаточно указать, что имеют дело с векторной величиной, то пишут . Длина (модуль) соответствующего вектора обозначаетсяили.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Так если два вектора иколлинеарные, то пишут

Два вектора иназываютсяравными, если они коллинеарные, равны по длине и одинаково направлены. В этом случае пишут . Если же векторы коллинеарные, равны по длине и направлены в противоположные стороны, то такие векторы называютсяпротивоположными, что записывается .

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

В векторной алгебре вводится понятие нулевого вектора – вектора нулевой длины, произвольного направления.

Линейные операции над векторами и их свойства

Линейные операции над векторами это операции умножения вектора на число и сложения векторов.

Умножение вектора на число. В результате умножения вектора на числополучаем новый вектор, который: коллинеарен вектору; имеет длину равную произведению длины векторана модуль числа; направлен в ту же сторону что и вектор, еслии в противоположную сторону, если.

Таким образом, : | | ; ; , .

Сложение векторов. Суммой двух векторов () называется вектор, идущий из начала векторав конец векторапри условии, что начало вектора, путем параллельного переноса вектора, совмещено с концом вектора(рис. 1).

Рис. 1

Суммой нескольких векторов (называется вектор-замыкающаяломаной линии построенной из векторовтак, что начало последующего вектора-слагаемого, совмещается с концом предыдущего вектора-слагаемого. Вектор-суммаидет из начала первого вектора- слагаемого в конец последнего вектора-слагаемого (Рис. 2).

Рис. 2

Вычитание векторов – действие обратное сложению векторов. Разностью двух векторов иназывается сумма вектораи вектора, противоположного вектору, т. е.

.

Или иначе: разностью двух векторов иназывается вектор, который, будучи сложенным с вектором, даст вектор(рис. 3).

Рис. 3

Таким образом, всякое выражение в котором векторы складываются или вычитаются можно рассматривать, как векторную сумму.

Основные свойства линейных действий над векторами

1. .

При умножении вектора на число с сомножителями можно работать как в алгебре с числами.

2. | |.

Из того, что следует, что| |; справедливо и обратное, что из обстоятельства| |следует, где- единственное число.

3. Переместительный закон сложения векторов (коммутативность):

.

4. Сочетательный закон сложения векторов (ассоциативность):

.

5. Распределительный закон сложения векторов по отношению к действию умножения на число (дистрибутивность):

.

Из рассмотренных свойств следует, что векторную сумму можно преобразовывать по тем же правилам, что и обыкновенную алгебраическую сумму: выносить за скобки общий множитель, приводить подобные члены, раскрывать скобки.