15. Локальный экстремум функции одной переменной

Пусть функция задана на множестве.

Определение 15.1. Точка называется точкой глобального минимума (максимума) функции, если

. (15.1)

Определение 15.2. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции, если

. (15.2)

Точки глобального (локального) минимума и максимума носят название точек глобального (локального) экстремума. Очевидно, что если - точка глобального (локального) минимума функции, то- точка глобального (локального) максимума функциии наоборот. Задачи нахождения точек глобального и локального экстремума функцииназываются экстремальными задачами для этой функции. При этом сами точки экстремума носят название решений экстремальных задач. Заметим, что если внутренняя точкамножестваG есть точка глобального экстремума функции , тоесть точка локального экстремума этой функции. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Формально экстремальная задача на минимум (максимум) функции записывается так

, . (15.3)

Экстремальная задача на минимум или максимум записывается в виде

, . (15.4)

При этом множество D называется ограничением для данной экстремальной задачи. Если , то (15.3) или (15.4) носит название задачи на безусловный экстремум, а если, то (15.3) или (15.4) носит название задачи на условный экстремум. В зависимости от способа построения подмножестваD различают классические и неклассические задачи на условный экстремум. В случае строгих неравенств в (15.1) и (15.2) говорят о строгом минимуме или максимуме.

В настоящем параграфе будут рассмотрены необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной.

Теорема 15.1. (Необходимое условие локального экстремума). Если функция в точкеимеет локальный экстремум, то производнаяфункциив этой точке равна нулю или не существует.

Доказательство. Если - точка локального экстремума функции, то значениеявляется наименьшим или наибольшим среди всех значений этой функции в некоторой окрестности точки. В самой точкефункциядифференцируема или нет. В первом случае по теореме Ферма производная.

Приведем пример недифференцируемой функции, имеющей локальный экстремум. Функция (см. рис. 15.1) в точкеимеет локальный минимум, но не дифференцируема в этой точке.

Рис. 15.1

Обозначим через область определения функции.

Определение 15.3. Точка называется критической точкой функции, если производная этой функции в точкеравна нулю или не существует.

Рис. 15.2

Согласно теореме 15.1, локальный экстремум функция может иметь только в критической точке, однако не каждая критическая точка функции является точкой локального экстремума этой функции. Например, производнаяфункциив точкеравна нулю, но локального экстремума в этой точке нет (см. рис. 15.2).

В связи с тем, что не во всякой критической точке функция имеет локальный безусловный экстремум, нужно дополнительно исследовать вопрос о существовании локального экстремума в критической точке. Для этого следует установить достаточные условия существования локального экстремума.

Теорема 15.2. (Достаточное условие локального экстремума первого рода). Пусть в окрестности точкифункциянепрерывна, а в проколотой окрестностиэтой точки дифференцируема. Тогда, если в пределах окрестностипроизводнаяотрицательна (положительна) слева от точкии положительна (отрицательна) справа от точки, то функцияв этой точке имеет локальный минимум (максимум). Если же производнаяимеет один и тот же знак слева и справа от точки, то локального экстремума в этой точке нет.

Доказательство. 1. Пусть производная в проколотой окрестностиотрицательна (положительна) слева от точкии положительна (отрицательна) справа от точки. Требуется доказать, что значениеявляется наименьшим (наибольшим) среди всех значенийв окрестности. Обозначим черезлюбое фиксированное значение аргумента из окрестности. Достаточно показать, что

. (15.5)

. (15.6)

Пусть сначала . Применяя к функциина отрезкетеорему Лагранжа, будем иметь

, (15.7)

где с некоторая точка интервала . Поскольку производнаяотрицательна (положительна) и, то правая часть (15.7) и, следовательно, левая часть (15.7) отрицательна (положительна), т.е. справедливо (15.5) ((15.6)). Аналогичным образом доказывается (15.5) ((15.6)) при.

2. Пусть теперь производная имеет один и тот же знак слева и справа от точкии пусть- любое фиксированное значение аргумента из окрестности. Повторяя проведенные выше рассуждения, получаем, что разностьимеет разные знаки прии при. Это доказывает отсутствие локального экстремума в точке.

Теорема 15.3. (Достаточное условие локального экстремума второго рода). Если функция дважды дифференцируема в точке, причем, а, то- точка локального безусловного минимума (максимума).

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай . По определению производной второго порядка

.

Отсюда в силу условий теоремы ()

. (15.8)

По свойству предела на основании (15.8) существует проколотая окрестность точки, в пределах которой справедливо неравенство

. (15.9)

В силу (15.9) в указанной окрестности производная отрицательна прии положительна при. Но тогда по теореме 15.2 функцияимеет в точкелокальный минимум. Случайрассматривается аналогично.

Теорема 15.4 ( Достаточное условие локального экстремума п-го рода). Если функция в некоторой окрестноститочкиимеет производную порядка 2п, где п – лобой фиксированный номер, причем указанная производная непрерывна в самой точке и, кроме того,

, ,…,,, (15.10)

то - точка локального безусловного минимума (максимума) этой функции.

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай (в случаерассуждения аналогичные). Так как производнаянепрерывна в точкеи положительна в этой точке, то по теореме об устойчивости знака непрерывной функции найдется некоторая окрестностьточки, в пределах которой эта производная положительна. Разложим функциюв окрестностипо формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Учитывая соотношения (15.10), будем иметь

или

, (15.11)

где с лежит между их. Поскольку значение положительно, то правая часть (15.11), а следовательно, и левая часть положительна. Это и доказывает, что функцияв точкеимеет локальный минимум.