8. Производные и дифференциалы высших порядков

Производная п-го порядка функции одной переменнойх определяется формулой

или в других обозначениях

.

Методом математической индукции легко проверяется формула

.

Соответствующее правило для вычисления производной п-го порядка от произведения двух функций носит название формулы Лейбница и имеет следующий вид

, (8.1)

где

, ;. (8.2)

Нетрудно проверить, что

. (8.3)

В самом деле, в силу (8.2)

.

Пусть иесть функции некоторого переменногоt. Предположим, что эти функции имеют производные до некоторого порядка п, причем и что для функциив окрестности некоторой точкиt выполняются все условия теоремы (4.3). Тогда согласно этой теореме для функции в окрестности соответствующей точких существует обратная функция , которая в точкех имеет производную, равную . Определим сложную функциюаргументах. По правилу дифференцирования сложной функции

. (8.4)

Для вычисления производной второго порядка от сложной функции представим ее в виде, и, воспользовавшись формулой (8.4), заменим в нейу на . Получим. Аналогично вычисляются и все другие производные высшего порядка.

Дифференциал п – го порядка функции одной переменнойх определяется формулой

, где .

Если - дифференцируемая функция при рассматриваемых значениях, то, используя свойства бесконечно малых величин, можно показать, что, где, то есть приращение функции состоит из двух частей, из которых первая часть- величина бесконечно малая приодного порядка малости с, она линейна относительно; вторая часть- бесконечно малая высшего порядка малости, чем.

Главная часть приращения линейная относительно называется дифференциалом функции и обозначается . Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение аргумента.

Если , то , таким образом, дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением. Теперь , или - производная функции равна отношению дифференциалов функции и независимой переменной.

При достаточно малых значениях , отсюда следует

или .

Последнее соотношение - формула применения дифференциала к приближенным вычислениям.

Свойства дифференциала

1. .

2. .

3. .

4. Если и , то . Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Такая независимость формы дифференциала функции от аргумента называется инвариантностью формы дифференциала по отношению к аргументу.

Пусть имеем - новая функция переменной и можно вести разговор об отыскании производной от этой новой функции. Производная от (если она существует) называется второй производной или производной второго порядка от функции :

.

Третья производная - .

Производной n – го порядка называется производная от (n-1) производной. Геометрический смысл второй производной – ускорение с которым изменяется функция.

Дифференциал функции - зависит от x и .

- величина не зависящая от x (при заданном x значения выбираются произвольно). Рассматриваякак функцию отx, возьмем - дифференциал второго порядка:

.

Аналогично .

Дифференциалом n –го порядка называется дифференциал от дифференциала (n-1) порядка как функции x :

.

Дифференциал n – го порядка равен произведению производной n – го порядка от функции наn – ю степень дифференциала независимой переменной. А тогда - производная n –го порядка равна отношению дифференциала функции n –го порядка к n – й степени дифференциала независимой переменной.