7. Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке, т.е. ее полное приращение в этой точке представимо в виде

, (7.1)

где , …,- некоторые числа, а, …,- бесконечно малые при, …,. Положим

. (7.2)

Очевидно, функция (7.2) есть бесконечно малая при , …,. Убедимся, что входящая в правую часть (7.1) суммапредставляет собой бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с. В самом деле, приочевидно неравенство

, , (7.3)

так как ,. В силу (7.3) функцияограничена. Отсюда, по свойству бесконечно малыхесть бесконечно малая при, …,. Следовательно,представляет собой бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с, т.е.

. (7.4)

Из (7.1) и (7.4) следует , а это значит, что суммаявляется главной, линейной относительночастью полного приращения дифференцируемой в точкефункции.

Определение 7.1. Дифференциалом или полным дифференциалом дифференцируемой в точкефункцииназывается главная, линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения этой функции в точке.

Таким образом, по определению

. (7.5)

Используя теорему 3.1, мы можем выражение (7.5) для дифференциала переписать в виде

. (7.6)

Под дифференциалом независимой переменнойбудем понимать приращениеэтой переменной. С учетом этого формулу (7.6) можно переписать в виде

. (7.7)

В случае функции одной переменнойх формула (7.7) примет вид

. (7.8)

Подчеркнем, что формула (7.7) установлена лишь для случая, когда аргументы , …,являются независимыми переменными. Докажем, что формула (7.7) остается справедливой и для случая, когда аргументы, …,являются дифференцируемыми функциями некоторых новых переменных. Указанное свойство дифференциала функции носит название инвариантности его формы. Итак, пусть функции,дифференцируемы в точке, а функциядифференцируема в точке. В таком случае мы можем рассматриватьu как сложную функцию переменных , которая в силу теоремы 4.1 дифференцируема в точке. Поэтому дифференциал этой функции согласно формуле (7.7) можно представить в виде

, (7.9)

где частные производные определены формулой

. (7.10)

Подставляя (7.10) в (7.9) с учетом соотношений ,получим

.

Инвариантность формы дифференциала доказана.

Свойство инвариантности формы дифференциала позволяет установить правила нахождения дифференциалов суммы, разности, произведения и частного дифференцируемых функций нескольких переменных. Именно, если и-дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы:

, ,,

(7.11)

Проверим, например, третью из формул (7.11). Пусть . Тогда по определению дифференциала функции двух переменныхu и v с учетом свойства инвариантности его формы имеем

.

Из формул (7.1), (7.4) и (7.5) вытекает приближенное равенство

, (7.12)

верное с точностью до бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с . Заменяя в (7.12) полное приращение и дифференциал их значениями, получаем следующее приближенное равенство

, (7.13)

верное с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем . Соотношение (7.13) может быть использовано в приближенных вычислениях.