3. Правила дифференцирования функций одной переменной

Теорема 5.1. Если функции идифференцируемы в точкех, то их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке, причем

, ,,.

Доказательство. Рассмотрим случай произведения. Пусть . Обозначим символами,иприращения функций,ив точкех, соответствующие приращению аргумента , т.е.

, ,.

Тогда после простых алгебраических преобразований будем иметь

.

Отсюда при

. (5.1)

Пусть теперь . Тогда в силу дифференцируемости функцийив точкех существуют предельные значения разностных отношений и, соответственно равныеи. Далее, в силу теоремы 3.4, из дифференцируемости функциив точкех следует непрерывность в этой точке, поэтому. Таким образом, существует предельное значение правой части (5.1) при, равное. Следовательно, существует предельное значение и левой части (5.1), равное по определению производной. Это значит, что функциядифференцируема в точкех и ее производная определяется формулой .

Остальные утверждения теоремы 5.1 доказываются аналогично.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

В самом деле, используя правило дифференцирования произведения и формулу , где(см. пример в п. 1), находим

.

3. Производные некоторых элементарных функций

1. Производная логарифмической функции.

Пусть и- фиксированная точка. Придадим значениюх произвольное приращение , удовлетворяющее условию. Тогда

.

Отсюда, при

, (6.1)

На основании второго замечательного предела

.

Отсюда в силу непрерывности логарифмической функции в точке существует предельное значение

.

Следовательно, существует предельное значение и левой части равенства (6.1), равное производной функции . Таким образом,

. (6.2)

В общем случае

. (6.3)

2. Производная показательной функции.

Показательная функция является обратной для логарифмической функции, определенной на полупрямой. В силу (6.3)

. (6.4)

Поскольку для логарифмической функции в окрестности любой точкивыполнены все условия теоремы 4.3 о производной обратной функции, то согласно этой теореме функциядифференцируема в любой точкеи для ее производной справедлива формула

или

. (6.5)

В частности

, (6.6)

так как .

3) Производная степенной функции.

Пусть дана степенная функция , где, и пустьфиксированная точка. Поскольку, показательную функциюможно рассматривать как сложную функцию

, где .

Отсюда по правилу дифференцирования сложной функции (4.12) с учетом (6.6) и (6.2) находим

.

Итак,

. (6.7)

В частности,

.

4) Производные тригонометрических функций.

Пусть . Взяв в качествех и любые действительные значения и используя формулу для разности синусов, можно записать

.

Отсюда при

. (6.8)

В силу непрерывности косинуса в любой точке х

. (6.9)

На основании первого замечательного предела

. (6.10)

Поэтому при существует предельное значение правой части (6.8), равное в силу (6.9) и (6.10). По определению производной указанное предельное значение равно производной функции. Таким образом,

. (6.11)

Так как , то на основании (6.11) и правила дифференцирования сложной функции будем иметь

.

Итак,

. (6.12)

Далее, используя правило дифференцирования частного и формулы (6.11) и (6.12), находим

,

.

Итак,

(для всех значений х, кроме , где), (6.13)

(для всех значений х, кроме , где). (6.14)

5) Производные обратных тригонометрических функций.

Функция , заданная на интервалеявляется обратной для функции, определенной на интервале. Поскольку при любом, для функциив окрестности любой точкиу из интервала выполняются все условия теоремы 4.3 о производной обратной функции. Отсюда

.

Итак,

, . (6.15)

Функция , заданная на интервалеявляется обратной для функции, определенной на интервале. При любом. Отсюда по теореме 4.3 получаем

.

Таким образом,

, . (6.16)

Далее, функция , заданная на интервале, является обратной для функции, определенной на интервале. Поскольку при любом, функцияв окрестности любой точкиу из интервала удовлетворяет всем условиям теоремы 4.3. Поэтому

.

, . (6.17)

Наконец, функция , заданная на интервале, является обратной для функции, определенной на интервале. Так как при любом, то функцияв окрестности любой точки из интервалаудовлетворяет всем условиям теоремы 4.3 и согласно этой теореме

.

Таким образом,

, . (6.18)

6) Производные гиперболических функций.

К числу гиперболических функций относятся:

а) синус гиперболический, определяемый формулой ;

б) косинус гиперболический, задаваемый формулой ;

в) тангенс гиперболический, определяемый формулой ;

г) котангенс гиперболический, задаваемый формулой .

Из определений гиперболических функций легко получить следующие выражения для их производных:

, ,

, ,.

Как известно, элементарной называется всякая функция, которая выражается через основные элементарные функции (степенную, логарифмическую, показательную, тригонометрические, обратные тригонометрические) и постоянные посредством четырех арифметических действий и операции суперпозиции, примененных конечное число раз. Отсюда в силу установленных правил дифференцирования и формул дифференцирования основных элементарных функций следует, что производная любой элементарной функции также является элементарной. Следовательно, операция дифференцирования элементарных функций не выводит нас за пределы класса этих функций.