17. Безусловный экстремум функции нескольких переменных

Результаты, приводимые далее, подобны результатам из п. 15, 16 для функции одной переменной.

Теорема 17.1. Если - точка безусловного локального экстремума функциии в этой точке существует какая-либо частная производная,, то эта частная производная равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим функцию одной переменной, определенную формулой

.

Эта функция дифференцируема в точке , ибо по определению частной производной имеем

. (17.1)

Далее, из определений локального экстремума функции одной и нескольких переменных следует, что если - точка локального безусловного экстремума функции, то- точка локального экстремума функции . Посколькудифференцируема в точке, то на основании необходимого условия локального экстремума функции одной переменной производная. Отсюда в силу (17.1) следует утверждение теоремы.

Заметим, что для дифференцируемой в точке функциипо определению дифференциала, из условияследует выполнение системы равенств,. Обратное утверждение в общем случае не имеет места.

Определение 17.1. Всякое решение уравнения для функции, заданной на открытом множестве, называется стационарной точкой для этой функции.

Не каждая стационарная точка функции является точкой безусловного локального экстремума этой функции. Поэтому стационарные точки подлежат дополнительному исследованию с помощью достаточных условий.

Теорема 17.2. (Достаточные условия безусловного локального экстремума). Если функция определена на открытом множествеи дважды дифференцируема в точке, причем

, , (17.2)

то - точка безусловного локального минимума (максимума) этой функции.

Доказательство теоремы 17.2 можно найти в [1].

Условие можно проверить с помощью критерия Сильвестра (см. § 8).

Сформулируем теперь достаточные условия безусловного глобального экстремума функции нескольких переменных.

Теорема 17.3. Если функция выпуклая (вогнутая) на открытом выпуклом множестве, то любая точкабезусловного локального минимума (максимума) этой функции является и точкой ее безусловного глобального минимума (максимума).

Теорема 17.4. Если функция выпуклая (вогнутая) на открытом выпуклом множествеи дифференцируема в точке, причем, тоявляется точкой безусловного глобального минимума (максимума) этой функции наG.

Пример. Исследовать на безусловный глобальный экстремум функцию

(17.3)

на всем пространстве .

Решение. По определению дифференциала

.

В нашем случае уравнение имеет вид

.

Отсюда в силу произвольности иполучаем систему уравнений

,

которая имеет одно решение . Функция (17.3) дважды дифференцируема в, причем

, ,.

Покажем, что во всех точках. Для этого воспользуемся критерием Сильвестра (см. § 8):

, .

Отсюда согласно теореме 14.2 функция (17.3) выпуклая во всем пространстве . Следовательно, на основании теоремы 17.4 точкаявляется точкой безусловного глобального минимума функции (17.3).

Исследование задач на безусловный глобальный экстремум для функции , заданной на замкнутом множестве, опирается на теорему Вейерштрасса, согласно которой всякая непрерывная на замкнутом множестве функцияимеет на этом множестве точки глобального минимума и максимума. При этом глобальный экстремум может достигаться либо во внутренней точке множества, либо на его границе.