1. Производная функции, ее физическая и геометрическая интерпретация

Пусть функция определена на некотором числовом промежуткеХ (отрезке, интервале, полуинтервале) и пусть фиксированное значение аргумента. Придадим аргументу в точкех произвольное приращение такое, что.Приращение функции в точкех, соответствующее приращению аргумента , есть разность

.

Считая , рассмотрим в данной фиксированной точкехотношение приращения функциик приращению аргумента

. (1.1)

Отношение (1.1) будем называть разностным отношением функции в данной точкех. Поскольку значениехфиксированное, разностное отношение представляет собой функцию аргумента. Эта функция определена в некоторой окрестности точки, за исключением самой этой точки, и мы вправе рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при.

Определение 1.1. Производной функции в данной точкех называется предел при разностного отношения (1.1) (при условии, что этот предел существует).

Производную функции в точкех будем обозначать одним из символов: ,,,. Таким образом, по определению

. (1.2)

Примеры.

1. ,,,.

2. ,,,.

Определение 1.2. Правой (левой) производной функции в заданной точкех называется правое (левое) предельное значение разностного отношения (1.1) в точке (при условии, что это предельное значение существует).

Правая (левая) производная функции в точкех обозначается символом ().

Теорема 1.1. Функция в точкех имеет производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие между собой правую и левую производные.

Утверждение теоремы следует из соответствующего утверждения для правого и левого предельных значений.

Операция нахождения производной функции носит название дифференцирования функции. Дадим физическую и геометрическую интерпретацию производной. Пусть функция определяет закон движения материальной точки по некоторой траектории, т.е. зависимость пройденного точкой от начала отсчета путиs от времени t. Если в момент времени t движущаяся точка находилась на расстоянии от начала отсчета, а в момент времени- на расстоянии, то путь, пройденный точкой за промежуток времени, равен. Отсюда средняя скорость точки за промежутокравна

. (1.3)

Определение 1.3. Мгновенной скоростью (или просто скоростью) точки в момент времени t называется предел разностного отношения (1.3) при (если этот предел существует), т.е.

.

Итак, производная функции, описывающая закон движения материальной точки, определяет мгновенную скорость точки. Такова физическая интерпретация производной.

Дадим теперь геометрическую интерпретацию производной. Пусть функция непрерывна на числовом промежуткеХ (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1

Рассмотрим на графике этой функции две точки и, где. ПрямуюMNбудем называтьсекущей. Обозначим черезφугол между секущей и осьюОХ, отсчитываемый от осиОХпротив движения часовой стрелки. Очевидно, что этот угол зависит от. Координаты векторасовпадают с разностями соответствующих координат точекМиN, т.е.. На основании одного из результатов векторной алгебры

. (1.4)

При указанном на рис.1.1 расположении точек МиNформулу (1.4) можно также получить из треугольникаMNP.

Определение 1.4. Касательной к графику функции в точкеМ назовем предельное положение секущей MN, при стремлении по графику точки N к точке М (или в силу непрерывности при), если этот предел существует.

Угол наклона касательной к оси ОХ обозначим через . По определению касательной и в силу (1.4) имеем

. (1.5)

Если в точке х функция имеет производную, то по определению производной

. (1.6)

Из (1.5) и (1.6) следует, что , т.е. производная функциив точкех равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке. Такова геометрическая интерпретация производной. Для составления уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент. Такое уравнение имеет вид

,

где Х, Y – координаты текущей точки касательной.