Неопределенный
интегралПонятие неопределенного интеграла Свойства неопределенного интеграла Непосредственное интегрирование
Введение части функции под знак дифференциала
Метод замены переменной Метод интегрирования по частям
Понятие неопределенного
интеграла
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f(x) найти ее производную.
Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x) , зная ее производную F’(x) = f(x) :
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на
интервале (a; b), если
x a,b : F (x) f (x)
Теорема
Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a; b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой:
F(x) + С, где С – постоянное число. Доказательство: F(x) C f (x)
F(x) + С – первообразная функции f(x) .
Понятие неопределенного
интеграла F(x) + С f(x)
Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается:
f (x)
dx F(x) C
ОперацияПеременннахожденияя неопределенного интегралаПодынтегральнаяот функции
Подынтегральное называетсяинтегрированияназывается интегрированием этойфункциявыраженфункциие .
Знак неопределенного интеграла
Геометрически неопределенный |
y |
|
|
|
интеграл представляет собой |
y = F(x) + С1 |
|||
|
||||
семейство параллельных кривых |
|
|||
y = F(x) + С (интегральных |
|
y = F(x) + С2 |
||
кривых) |
|
|
|
|
0 |
х |
|||
|
||||
|
|
y = F(x) + С3 |
||
Свойства неопределенного интеграла
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная от
неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: |
|||
d f (x)dx f (x)dx |
f |
|
|
(x)dx |
f (x) |
||
Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной. dF(x) F(x) C
Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
a f (x) dx a f (x) dx
Свойства неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл от суммы (разности) конечного числа непрерывных функций равен сумме (разности) интегралов:
f1(x) f2 (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx
Инвариантность формулы интегрирования: Если
f (x) dx F(x) C то: f (u) du F(u) C
где u = φ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
|
f (ax b) dx |
1 |
F(ax b) C |
|||
|
|
|||||
|
|
1 |
|
a |
||
f |
(ax) dx |
F(ax) C |
|
f (x b) dx F(x b) C |
||
|
|
|
||||
a |
|
|||||
Непосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и
применения свойств неопределенного интеграла приводится к табличным интегралам, называется непосредственным
интегрированием.
ex 2x 6 dx ex dx 2x dx 6 dxex dx 2 x dx 6 dx ex x2 6x C
|
2 |
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
1 sin2 x |
|
|||
ctg |
x dx sin2 x |
dx sin2 x |
dx |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 dx |
|
1 |
|
dx |
dx |
||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
ctg x x C |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введение части функции под знак
дифференциалаПри сведении данного интеграла. к табличному часто
применяются следующие преобразования дифференциала ( операция «подведения под знак дифференциала»)
du d(u b)
du a1 d(au)
u du 21 d(u2 )
f (u) du d(f (u))
cosu du d(sinu)
du d(lnu) u
Введение части функции под знак 
дифференциала. 1
sin(x2 ) x dx sin(x2 ) 2 d x20.5 sin( u ) d u 0.5cos(x2 ) C
ln3 x |
|
|
|
u |
|
3 |
d |
u ) |
|
ln4 |
x |
C |
||||
x |
dx |
|
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3x 5 dx 3x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
3 d(3x 5) |
C |
||||||||||||||
1 |
u |
2 |
d( |
|
|
u |
) |
|
2 3x 5 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||
Метод интегрирования
подстановкойМетод интегрирования подстановкой(заменойзаключается во введении переменной)новой переменной интегрирования.
Пусть требуется вычислить интеграл f (x)dx.
Сделаем подстановку: x (t) , где φ – функция, имеющая
непрерывную производную. Тогда:
dx (t)dt
Получим формулу интегрирования подстановкой:
f (x)dx f ( (t)) (t) dx
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t (x)
Тогда подынтегральную функцию нужно представить в виде:
f ( (x)) (x) dx f (t)dt.
t dt
Метод интегрирования |
|
|
||||||||
подстановкой |
|
(заменой |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||
переменной) |
|
x 3 t; |
|
|
||||||
x x 3 dx |
|
x t 2 3; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dx (t 2 3) dt 2tdt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t 2 |
3 t 2t dt |
2t 4 6t 2 dt |
||||||||
2 t 4 dt 6 t 2 dt |
t 5 |
t 3 |
||||||||
2 5 6 |
3 C |
|||||||||
2 |
|
|
2 |
|
C |
|||||
|
x 3 5 |
x 3 3 |
||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|